일반화된 Cauchy 극한 문제의 풀이

By | Januar 5, 2018

보통 'Cauchy의 문제'라고 하면 편미분방정식의 해에 관한 문제를 가리킨다. 하지만 Cauchy의 이름을 딴 다음과 같은 또 다른 문제가 있다.

Cauchy 극한 문제
\(L\)이 실수이고 함수 \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\)가 \[\lim_{n\rightarrow\infty} (f(n+1) - f(n)) = L\] 을 만족시킬 때 \[\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(n)}{n} = L\] 이 성립함을 증명하여라.

이 문제는 William R. Wade 교수님의 책 An Introduction to Analysis 4판에 연습문제 3.2.8로 소개되어 있다.

이 포스트에서는 Cauchy 극한 문제를 일반화한 다음과 같은 문제의 풀이를 살펴본다.

일반화된 Cauchy 극한 문제
\(L\)이 실수이고 \(r\)가 양수이며 \(f : (0,\,\infty ) \rightarrow \mathbb{R}\)가 연속함수라고 하자. 만약 \(f\)가 \[\lim_{x\rightarrow\infty} (f(x+r) - f(x)) = L \tag{1}\] 을 만족시키면 \[\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{f(x)}{x} = \frac{L}{r} \tag{2}\] 이 성립함을 증명하여라.

먼저 특별한 경우를 증명하고, 그 결과를 이용하여 일반적인 경우를 증명하자.

경우 1. \(L=0\)이고 \(r=1\)이며 임의의 양수 \(x\)에 대하여 \(f(x) \ge 0\)인 경우의 문제.

증명. 양수 \(p\)가 임의로 주어졌다고 하자. (1)에 의하여 다음을 만족시키는 자연수 \(N\)이 존재한다. \[x>N \,\rightarrow\, \left\lvert f(x+1) - f(x) \right\rvert < p \tag{3}\] 이제 \(x\)의 값이 충분히 크면 함수 \(y=f(x)\)의 증가 속도가 일차함수 \(y=px\)의 증가 속도보다 낮다는 것을 보여야 한다. 이 사실을 논리적으로 보이는 것이 증명의 핵심이다. 함수 \(y=f(x)-px\)는 닫힌구간 \([N ,\,N+1]\)에서 연속이므로 이 구간에서 최댓값을 가진다. \(y=f(x)-px\)가 이 구간에서 최댓값을 갖는 점을 \(m\)이라고 하자. 그리고 \(M := f(m)\)이라고 하자. 즉 임의의 \(x\in [N,\,N+1]\)에 대하여 \[f(x)-px \le f(m) - pm = M-pm \tag{4}\] 이다.

\(x > N+1\)이라고 하자. 그리고 \(n := [x],\) \(t := x-n\)이라고 하자. 즉 \(x\)의 정수부분을 \(n,\) 소수부분을 \(t\)라고 하자. 그러면 다음이 성립한다. \[\begin{align} \lvert f(x) \rvert &= \lvert f(n+t) \rvert \\[8pt] & \leq \lvert f(n+t) - f(n+t-1) \rvert + \lvert f(n+t-1) - f(n+t-2) \rvert + - \cdots \\[8pt] & \quad + \lvert f(N+t+1) - f(N+t) \rvert + \lvert f(N+t) \rvert \\[8pt] & < (n-N)p + \lvert f(N+t) \rvert \tag*{\(\because\,\)(3)}\\[8pt] & = (n+t-N-t)p + \lvert f(N+t) \rvert \\[8pt] & = (x-N)p - tp + \lvert f(N+t) \rvert \\[8pt] & \leq (x-N)p - tp + p(N+t) + f(m) - p(m) \tag*{\(\because\,\)(4)}\\[8pt] & = (x-N)p + pN + f(m) - pm \\[8pt] & = (x-m)p + f(m) \\[8pt] & =p(x-m) +M. \end{align}\] 즉 \(x > N+1\)일 때 \[ \lvert f(x) \rvert \leq p(x-m)+M \tag{5}\] 이다. 이 부등식은 \(x\)의 값이 충분히 클 때 \(y=f(x)\)의 그래프가 일차함수 \(y=p(x-m)+M\)의 그래프의 아래쪽에 있다는 사실을 뜻한다. \(x>N+1\)일 때 부등식 (5)의 양변을 \(x\)로 나누면 \[\frac{f(x)}{x} \leq \frac{p(x-m) +M}{x}\tag{6}\] 을 얻는다. 이 식의 양변에 \(x \rightarrow \infty\)인 극한을 취하면 \[\varlimsup_{x\rightarrow\infty} \frac{f(x)}{x} \leq p \tag{7}\] 를 얻는다. 여기서 부등식 (6)이 \(f(x)/x\)의 극한의 수렴을 직접적으로 보장하지는 않는다는 점을 주의해야 한다. 다만 (6)에 의하여 \(x>N+1\)인 범위에서 \(f(x)/x\)가 유계이므로 상극한의 존재성은 보장된다. 그런데 \(p\)는 임의의 양수이므로 (7)로부터 \[\varlimsup_{x\rightarrow\infty} \frac{f(x)}{x} \leq 0 \tag{8}\] 을 얻는다. 한편 \(f(x)/x \ge 0\)이므로 \[\varliminf_{x\rightarrow\infty} \frac{f(x)}{x} \ge 0 \tag{9}\] 이다. (8)과 (9)를 결합하면 \[\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{f(x)}{x} =0\] 을 얻는다.

\(f(x) \ge 0\)이라는 조건을 뺀 경우의 증명은 다음과 같다.

경우 2. \(L=0\)이고 \(r=1\)인 경우의 일반화된 Cauchy 극한 문제.

증명. \(g(x) := \lvert f(x) \rvert\)라고 하자. 그러면 \(g\)는 연속함수이고 임의의 양수 \(x\)에 대하여 \(g(x) \ge 0\)이며 \[\lim_{x\rightarrow\infty}(g(x+1)-g(x))=0\] 이므로 [경우 1]에 의하여 \[\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{g(x)}{x} = 0\] 을 얻는다. 즉 \[\lim_{x\rightarrow\infty}\left\lvert \frac{f(x)}{x} \right\rvert = 0\] 이므로 \[\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{f(x)}{x} = 0\] 을 얻는다.

\(L=0\)이라는 조건까지 뺀 경우의 증명은 다음과 같다.

경우 3. \(r=1\)인 경우의 일반화된 Cauchy 극한 문제.

증명. \(g(x) := f(x) - Lx\)라고 하자. 그러면 \(g\)는 연속함수이고 \[\lim_{x\rightarrow\infty}(g(x+1)-g(x))=0\] 이므로 [경우 2]에 의하여 \[\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{g(x)}{x} = 0\] 을 얻는다. 즉 \[\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{f(x)}{x} -L \right) = \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)-Lx}{x} = \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{g(x)}{x}=0\] 이므로 \[\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x}=L\] 을 얻는다.

이제 비로소 일반화된 Cauchy 극한 문제의 증명을 얻는다.

일반화된 Cauchy 극한 문제의 증명. \(g(x) := f(rx)\)라고 하자. 그러면 \(g\)는 연속함수이고 \[\lim_{x\rightarrow\infty}(g(x+1)-g(x))=L\] 이므로 [경우 3]에 의하여 \[\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{g(x)}{x} = L\] 을 얻는다. 그러므로 \[\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{g(x/r)}{x/r} \cdot \frac{1}{r}\right) = \frac{L}{r}\] 을 얻는다.

사실 이 문제에서 \(f\)가 '연속이다'라는 조건을 '단조이다' 또는 '국소적 유계이다'라는 조건을 바꾸어도 동일한 결론을 이끌어낼 수 있다.

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