Category Archives: Mathematik

함자와 자연변환

MacLane과 Saunders는 저서 『Categories for the working mathematician』에서 다음과 같이 말하였다. (Wikipedia에서 재인용) “범주(category)를 정의한 이유는 함자(functor)를 정의하기 위해서이고, 함자를 정의한 이유는 자연 변환(natural transformation)을 정의하기 위해서이다.”   즉 함자와 자연변환은 범주 이론의 주축을 이루는 중요한 개념이다. 이 포스팅에서는 함자와 자연변환의 개념을 살펴본다. 함자 직관적으로 표현하면, 함자는 두 범주 사이의 사상이다. \(\mathcal{C} = (O,\,M)\)과 \(\mathcal{C} ' = (O… Read More »

범주 이론의 세 가지 접근 방법

'군의 범주'는 대상이 모든 군이고 사상이 모든 군준동형사상인 범주이다. 그런데 모든 군의 모임은 집합이 아닌 고유클래스이다. 심지어는 단원군들의 모임조차 집합이 아닌 고유클래스이다. [단원군은 원소가 하나인 군을 뜻한다. 단원군을 자명한 군이라고 부르기도 한다.] 즉 범주 이론에서 다루는 모임은 고유클래스인 경우가 많으므로 범주 이론을 다룰 때에는 조심스러운 접근이 필요하다. 고유 클래스로 이루어진 범주의 대표적인 예는 다음과 같은 것들이 있다. \(\mathbb{Set}\)은… Read More »

범주 이론의 개념

수학 이론의 근간을 어디에 두느냐에 따라서 수학의 이론을 전개하는 방식이 달라진다. 수학 이론의 근간을 집합에 두면 순서쌍이나 함수는 특정한 조건을 만족시키는 집합으로 정의된다. 각각의 자연수 또한 집합이며, 정수, 유리수, 실수, 복소수와 같은 수의 개념들 모두 집합으로 정의된다. 마찬가지로 군(group)도 집합으로 정의된다. 즉 군은 첫 번째 좌표가 \(G\)의 원소이고 두 번째 좌표가 \(G\times G\)로부터 \(G\)로의 함수인 순서쌍들의 집합이다. 수학… Read More »

집합과 클래스

직관적 집합론에서는 집합을 '조건을 만족시키는 대상들의 모임'과 같이 직관적으로 정의하며, 이러한 집합론에서는 Russell의 역리와 같은 여러 가지 문제가 발생한다. 이러한 이유 때문에 공리적 집합론에서는 집합을 직관적으로 정의하지 않고 일련의 공리를 이용하여 집합을 규정한다. 공리적 집합론에서는 '모든 집합의 집합'과 같은 것은 존재하지 않는다. 하지만 '모든 집합의 모임'에 대해서는 논할 수 있다. 즉 '집합'과 '모임'은 다른 개념이 되는데, '모임' 중에서… Read More »

ZFC 집합론의 Skolem 역리

집합론을 공리적으로 연구하기 위해 사용할 수 있는 집합론 공리 체계는 여러 가지가 있다. ZFC가 그 대표적인 공리 체계이다. 수학자는 이러한 공리 체계 중에서 자신이 원하는 것을 하나 택하여 정착할 수 있다. 하지만 집합론의 공리 체계 중 하나에 정착한다 하더라도 그것이 집합론을 건설하기에 충분한지에 대해서는 항상 의문으로 남을 수밖에 없다. 예컨대 ZFC 공리계에서는 연속체 가설을 풀 수 없다. 설령… Read More »

도달 불가능한 기수

기수 \(\alpha\)가 다음 세 조건을 모두 만족시킬 때 '\(\alpha\)는 도달 불가능하다(inaccessible)'라고 말한다. (a) \(\alpha > \aleph_{0}\), (b) \(\lambda < \alpha\)인 임의의 기수 \(\lambda\)에 대하여 \(2^{\lambda} < \alpha \), (c) \(\alpha\)보다 작은 기수들을 \(\alpha\)보다 적은 개수만큼 합집합하면 \(\alpha\)보다 작다. '도달 불가능하다'라는 용어는 영어의 'inaccessible'을 일본어로 번역하고 그것을 다시 한국어로 번역한 것이다. 마음 같아선 '\(\alpha\)는 닿을 수 없다'라는 표현을 쓰고… Read More »

집합의 기수

유한집합의 크기는 원소의 개수로 나타낼 수 있다. 하지만 무한집합의 크기는 자연수로 나타낼 수 없다. 대신 '원소의 개수'라는 개념을 확장하여 '기수'를 사용할 수 있다. 기수를 정의하는 방법은 '기수 공리'를 이용하는 공리적 방법과 서수로부터 기수를 정의하는 '구성적 방법'이 있다. 여기서는 구성적 방법을 살펴보자. 1. 기수의 정의 먼저 서수를 이용하여 기수를 정의한다. 정의 1.  집합의 기수. \(\alpha\)가 서수이고 \(\alpha\)의 임의의 절단(section)이… Read More »

집합위계

20세기 초 직관적 집합론의 역리들을 제거하기 위하여 수학자들의 다양한 시도가 있었다. 그 중 Zermelo는 집합위계(hierarchy)를 이용하여 집합론의 역리들을 피하고자 하였다. Zermelo의 아이디어는 집합에 계층을 대응시키되, 계층들의 집합이 정렬집합이 되도록 하는 것이다. 만약 각 계층에서 Russell 집합(자기 자신의 원소가 되는 집합)이 나타나지 않는다면 Russell의 역리를 피할 수 있게 된다. 서수를 이용하여 각 계층(stage)에 이름붙임으로써 계층들이 정렬되도록 하자. 계층이 \(\alpha\)인… Read More »

집합의 서수

집합의 기수(cardinal number)는 집합의 크기를 나타내는 값이고, 집합의 서수(ordinal number)는 집합이 가진 순서의 구조를 나타내는 값이다. (서수를 순서수라고 부르기도 한다.) 서수를 정의하는 방법은 '서수 공리'를 도입하는 공리적 방법과 집합으로 서수를 정의하는 구성적 방법이 있다. 여기서는 구성적 방법을 살펴보자. 1. 서수의 정의 서수가 모든 순서집합의 구조를 나타내지는 않는다. 서수는 순서집합 중에서도 정렬집합의 구조만 나타낸다. 따라서 서수를 정의하기 전에 정렬집합을… Read More »

일반화된 Cauchy 극한 문제의 풀이

보통 'Cauchy의 문제'라고 하면 편미분방정식의 해에 관한 문제를 가리킨다. 하지만 Cauchy의 이름을 딴 다음과 같은 또 다른 문제가 있다. Cauchy 극한 문제 \(L\)이 실수이고 함수 \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\)가 \(\lim_{n\rightarrow\infty} (f(n+1) - f(n)) = L\) 을 만족시킬 때 \(\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(n)}{n} = L\) 이 성립함을 증명하여라. 이 문제는 William R. Wade 교수님의 책 An Introduction to Analysis 4판에… Read More »