\(f(x)\in\mathbb{Q} \Leftrightarrow f(x+1)\notin\mathbb{Q}\)를 만족시키는 함수 \(f\)의 존재성

By | Januar 25, 2018

다음 조건을 만족시키는 연속함수 \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 존재하는가?

\[ f(x) \in \mathbb{Q} \quad \Longleftrightarrow \quad f(x+1) \notin \mathbb{Q} \tag{1} \]

그러한 함수 \(f\)는 존재하지 않는다. 결론에 반하여 그러한 함수 \(f\)가 존재한다고 가정하자. 그리고 \[g(x) := f(x) + f(x+1)\] 이라고 하자. 그러면 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \(g(x)\)는 무리수이다. 그런데 \(g\)는 연속함수이다. 유리수 전체 집합과 무리수 전체 집합은 각각 \(\mathbb{R}\)에서 조밀하므로 \(g\)는 \(\mathbb{R}\)에서 상수함수이다. (상수함수가 아니라면 중간값 정리에 의하여 유리수를 함숫값으로 가져야 한다.) 즉 무리수 \(c\)가 존재하여 임의의 \(x\)에 대하여 \(g(x) = c\)이다.

\(f\)는 유리수와 무리수를 모두 함숫값으로 가지므로 상수함수가 아니다. \(a\)와 \(b\)가 \(f\)의 두 함숫값이고 \(a < b\)라고 가정하자. \(f\)는 연속함수이므로 중간값 정리에 의하여 구간 \([a,\,b]\)의 모든 값을 함숫값으로 가진다.

\(y\)가 \([a,\,b]\)에 속하는 임의의 무리수라고 하자. 그러면 \(f(t) = y\)인 실수 \(t\)가 존재한다. 이때 \[\begin{align} y-c &= f(t) - g(t) \\[7pt] &= f(t) - (f(t) + f(t+1)) \\[7pt] &= -f(t+1) \end{align}\] 이다. 그런데 \(f(t)\)가 무리수이므로 \(f(t+1)\)은 유리수이다. 즉 임의의 \(y \in [a,\,b] \setminus \mathbb{Q} \)에 대하여 \(y-c\)는 유리수이다. 대응 \(y \mapsto y-c\)는 일대일이므로 \([a,\,b] \setminus \mathbb{Q}\)는 가산집합이다. 이것은 모순이다.

그러므로 (1)을 만족시키는 연속함수 \(f\)는 존재하지 않는다.

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