범주 이론의 세 가지 접근 방법

By | Januar 17, 2018

'군의 범주'는 대상이 모든 군이고 사상이 모든 군준동형사상인 범주이다. 그런데 모든 군의 모임은 집합이 아닌 고유클래스이다. 심지어는 단원군들의 모임조차 집합이 아닌 고유클래스이다. [단원군은 원소가 하나인 군을 뜻한다. 단원군을 자명한 군이라고 부르기도 한다.] 즉 범주 이론에서 다루는 모임은 고유클래스인 경우가 많으므로 범주 이론을 다룰 때에는 조심스러운 접근이 필요하다.

고유 클래스로 이루어진 범주의 대표적인 예는 다음과 같은 것들이 있다.

  • \(\mathbb{Set}\)은 집합과 함수로 이루어진 범주이다. Russell의 역리로 인하여 \(\mathbb{Set}\)에서 대상들의 모임은 고유클래스가 된다.
  • \(\mathbb{Cat}\)은 범주와 함자(functor)로 이루어진 범주이다. 함자는, 직관적으로 말하면, 범주의 준동형사상이다. 모든 범주가 집합인 것은 아니므로 \(\mathbb{Cat}\) 또한 클래스를 다루듯이 쉽게 다루어질 수 없다.
  • 함자 범주(functor category)에서 대상의 모임은 범주 \(C_1\)으로부터 범주 \(C_2\)로의 모든 함자들의 모임이다. \(C_1\)이나 \(C_2\)가 집합이 아니라면 함자 범주 또한 클래스를 다루듯이 다루어질 수 없다.

동형인 두 군은 사실 같은 군이므로, 대수학자의 입장에서 보면 단원군은 단 하나 존재한다. 그럼에도 불구하고 단원군들의 모임은 고유클래스이다. 이처럼 범주는 '너무 큰' 모임으로 이루어져 있기 때문에 범주를 집합론적으로 다룰 수 없다는 문제가 발생한다. 이러한 문제를 피하기 위하여 다른 접근법을 사용할 수 있다. 먼저 몇 가지 개념을 정의한다.

  • 작은 범주(small category) : 사상들이 모임이 집합인 범주를 작은 범주라고 부른다. 사상들의 모임에는 일대일 사상 \(x \mapsto 1_x\)가 존재하므로 작은 범주를 구성하는 대상의 모임은 집합이다. 예컨대 군은 그 자체로 작은 범주이다. 작은 범주에서는 고유 클래스를 다룸으로써 발생하는 문제가 발생하지 않는다.
  • 국소적으로 작은 범주(locally small category) : 임의의 두 대상 \(x,\) \(y\)에 대하여 사상 \(f : x \to y\)들의 모임이 집합인 범주를 국소적으로 작은 범주라고 부른다. 예컨대 집합의 범주 \(\mathbb{Set}\)과 군의 범주 \(\mathbb{Grp}\)는 국소적으로 작은 범주이며, 작은 범주의 범주이다.
  • 정멱범주(well-powered category) : 임의의 대상 \(x\)에 대하여 \(x\)의 부분대상의 집합 \(X\)가 존재하여 \(x\)의 임의의 부분대상이 \(X\)의 원소 중 하나 이상과 동형인 범주를 정멱범주라고 부른다. 예컨대 군의 범주는 정멱범주이다. 왜냐하면, 임의의 군 \(x\)는 집합이므로 \(x\)의 부분군들의 집합을 \(X\)로 두면 되기 때문이다. 여기서 \(X\)는 \(\mathcal{P} (x)\)의 부분집합이 된다. 이것이 '정멱범주'라는 이름이 붙은 이유이다.

이제 범주 이론의 세 가지 접근 방법을 살펴보자.

첫 번째 접근 방법. 직관적 집합론에 근거한 직관적 범주 이론(naïve category theory)이다. 즉 Russell의 역리를 발생시킬 수 있는 모임의 구성을 조심스럽게 피해가며 범주 이론을 다루는 방법이다. 이 방법에서 작은 범주는 집합의 개념을 이용하여 다루어지며, 국소적으로 작은 범주와 정멱범주는 클래스의 개념을 이용하여 다루어진다. 이러한 방법은 수학자들이 통상적으로 가장 많이 사용하는 방법이다. 예컨대 범주 정리가 많이 사용되는 분야는 환론(ring theory)이다. 즉 \(R\)-가군(module)의 범주를 이용하여 환 \(R\)의 성질을 분석할 수 있다.

두 번째 접근 방법. 집합론에 새로운 공리를 추가하는 Grothendieck 접근 방법이다. Grothendieck 전체란 집합론의 \(\in\)-모델이 되는 집합 \(\mathcal{U}\)를 뜻한다. 즉 원소 관계를 \(\mathcal{U}\)에 제한시켜 ZF 공리를 만족시키도록 하는 것이다. 이때 \(\mathcal{U}\)는 다음을 만족시킨다.

  • \(\mathcal{U}\)는 추이적이다. 즉 \(x\in \mathcal{U}\)이고 \(y\in x\)이면 \(y\in \mathcal{U}\)이다.
  • \(\mathcal{U}\)는 \(0\) 이상인 정수의 집합 \(\omega\)를 포함한다.
  • \(x\in \mathcal{U} ,\) \(y\in \mathcal{U}\)이면 \(\left\{ x,\, y \right\} \in \mathcal{U}\)이다.
  • \(\mathcal{U}\)의 원소의 멱집합과 합집합은 \(\mathcal{U}\)에 속한다.
  • 일계논리식으로 정의된 함수에 의한 \(\mathcal{U}\)의 원소의 상은 \(\mathcal{U}\)에 속한다.

\(\alpha\)가 도달 불가능한 기수이면 \(V_{\alpha}\)는 Grothendieck 전체이다. Grothendieck 전체는 집합론의 모델이므로 \(\mathcal{U}\) 안에서 수학의 이론을 전개할 수 있다. MacLane은 ZFC에 다음과 같은 공리를 추가할 것을 제안하였다.

“Grothendieck 전체가 존재한다.”

(위 공리는 ZFC에서 증명되지 않는다. 왜냐하면 ZFC로부터 위 진술이 증명된다면 ZFC의 무모순성이 증명되기 때문이다.) 범주에서 사상의 모임이 \(\mathcal{U}\)에 속하는 집합일 때 그 범주를 \(\mathcal{U}\)-작은 범주(U-small category)라고 부른다. 같은 방법으로 \(\mathcal{U}\)-국소적으로 작은 범주\(\mathcal{U}\)-정멱범주를 정의한다.

수학에서 대부분의 경우 MacLane의 공리는 범주 이론을 다루는 데에 충분하지만, 몇 가지 제약 사항이 있다. 그것은 \(\mathcal{U}\)-작은 범주들의 모임이 집합이지만 그 집합은 \(\mathcal{U}\)에 속하지 않는다는 점이다. 이러한 이유로 Grothendieck는 다음과 같은 더 강력한 공리를 추가할 것을 제안하였다.

“임의의 집합은 Grothendieck 전체에 속한다.”

특히 임의의 전체 \(\mathcal{U}\)는 그 보다 더 큰 전체 \(\mathcal{U} ' \)에 포함되며, \(\mathcal{U}\)-작은 범주는 \(\mathcal{U} ' \)-작은 범주이다. 이와 같은 방법으로 범주를 다루다 보면 더 큰 전체 \(\mathcal{U} ' ' \)이 필요하게 된다. 그런데 이렇게 너무 많은 '전체'를 고려하는 것은 그리 만족스러운 방법이 아니다. 왜냐하면 단원군의 범주 하나를 다루기 위해서도 여러 개의 '전체'를 만들어야 하기 때문이다.

세 번째 접근 방법. Lawvere에 의하여 고안된 방법으로서, 집합론을 완전히 배제하고 범주만으로 수학의 기초를 건설하는 방법이다. 그러면 집합론은 범주 이론의 부분 이론인 \(\mathbb{Set}\)이 된다. 범주 이론을 이용하여 집합론을 구성하는 과정은 다음 문서를 참고하기 바란다.

[An Elementary Theory of the Category of Sets (PDF)]

다음 사이트에 방문하면 범주 이론에 관한 최근 연구의 결과를 볼 수 있다.

[Theory and Applications of Categories]

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