함자와 자연변환

By | Januar 18, 2018

MacLane과 Saunders는 저서 『Categories for the working mathematician』에서 다음과 같이 말하였다. (Wikipedia에서 재인용)

“범주(category)를 정의한 이유는 함자(functor)를 정의하기 위해서이고, 함자를 정의한 이유는 자연 변환(natural transformation)을 정의하기 위해서이다.”  

즉 함자와 자연변환은 범주 이론의 주축을 이루는 중요한 개념이다. 이 포스팅에서는 함자와 자연변환의 개념을 살펴본다.

함자

직관적으로 표현하면, 함자는 두 범주 사이의 사상이다. \(\mathcal{C} = (O,\,M)\)과 \(\mathcal{C} ' = (O ' ,\, M ' ) \)이 범주라고 하자. 이때 \(\mathcal{C}\)로부터 \(\mathcal{C} ' \)으로의 함자(functor) \(F : \mathcal{C} \to \mathcal{C} ' \)은 다음과 같은 개체로 구성된다.

  • 대상의 대응 : \(O\)로부터 \(O ' \)으로의 대응.
  • 사상의 대응 : \(M\)으로부터 \(M ' \)으로의 대응.

이 개체들은 다음 함자 공리를 만족시킨다.

  • 사상 합성의 보존 : \(gf\)가 정의될 때 \(F(gf) = (Fg)(Ff).\)
  • 항등사상의 보존 : 임의의 \(x \in O\)에 대하여 \(F 1_x = 1_{(Fx)} .\)

함자 \(F\)는 정의역과 공역을 보존한다. 즉 임의의 \(f \in M\)에 대하여 \[ F(\mathrm{dom} (f) ) = \mathrm{dom} (Ff) \tag{1}\] 그리고 \[ F(\mathrm{cod} (f) ) = \mathrm{cod} (Ff) \tag{2}\] 이다. 함자 공리를 이용하여 이 두 등식을 증명해보자. \[f 1_{\mathrm{dom} (f)} = 1_{\mathrm{cod}(f)} f = f \tag{3}\] 이므로 함자 공리의 첫 번째 조건에 의하여 \[ Ff \cdot F1_{\mathrm{dom} (f)} = F1_{\mathrm{cod}(f)} \cdot Ff = Ff \tag{4}\] 를 얻으며, 함자 공리의 두 번째 조건에 의하여 \[F 1_{\mathrm{dom} (f)} = 1_{F \mathrm{dom} (f)} ,\quad F 1_{\mathrm{cod}(f)} = 1_{F\mathrm{cod} (f)} \tag{5}\] 를 얻는다. (4)와 (5)를 결합하면 (1)과 (2)를 얻는다.

이제 비로소 \(\mathbb{Cat}\)를 정의할 수 있다. 즉 \(\mathbb{Cat}\)는 범주의 범주인데, 이 범주 \(\mathbb{Cat}\)에서는 범주가 대상이고 함자 사상이다.

함자는 수학의 여러 분야에서 등장한다. 예컨대 \(\mathcal{C}\)가 구체적 범주라고 하자. 이때 \(\mathcal{C}\)로부터 \(\mathbb{Set}\)으로의 망각함자(forgetful functor)란 각 대상을 그에 해당하는 집합에 대응시키고 각 사상을 집합 함수에 대응시키는 함자이다. 즉 이 대응은 \(\mathcal{C}\)의 대상의 구조를 '망각하는' 함자이다.

부분적으로 망각하는 함자도 생각할 수 있다. 예컨대 \(\mathcal{C}\)와 \(\mathcal{C} ' \)이 각각 환의 범주와 가환군의 범주라고 하자. 이때 \(F\)가 \(\mathcal{C}\)로부터 \(\mathcal{C} ' \)으로의 부분망각함자(partially forgetful functor)라 함은 환을 덧셈에 대한 군에 대응시키고 환준동형사상을 동일한 준동형사상에 대응시키는 함자임을 의미한다.

몇 가지 예를 더 살펴보자.

  • 멱집합(power set) : 멱집합 연산은 \(\mathbb{Set}\)으로부터 그 위에로의 함자를 정의한다. 이 함자는 각 \(x\)를 \(\mathcal{P} (x)\)에 대응시킨다. 각 \(f : x \to y\)에 대하여 \(\mathcal{P} f : \mathcal{P} (x) \to \mathcal{P} (y)\)를 유도된 집합 대응으로 정의한다. 즉 임의의 \(z\subseteq x\)에 대하여 \(z(\mathcal{P} f ) = f[z]\)이다. 여기서 \(\mathcal{P} f\)는 \(f\)의 멱집합이 아니지만 그와 관련이 깊다. \(f\)의 임의의 부분집합은 \(x\)의 부분집합 \(z\)로부터 \(y\)로의 함수이다. 이때 이 함수의 상이 \(z(\mathcal{P} f) \)이다.
  • 유도된 군(derived group) : 군을 가환군에 대응시키는 함자는 여러 종류가 있다. \(G ' \)이 유도된 군이라 함은 모든 교환자(commutator) \(g^{-1} h^{-1} g h\)에 의하여 생성되는 부분군임을 뜻한다. 이 군은 가환인 인자군을 갖는 가장 작은 정규부분군이다. 이때 \(G\)를 \(G / G ' \)에 대응시키는 함자는 군으로부터 가환군으로의 함자이다. 물론 사상 위에서 함자의 작용을 적절히 정의해야 한다. \(\theta : G \to H\)가 군의 준동형사상이라고 하자. 그러면 \(\theta G ' \leq H ' \)이므로 \(\theta\)는 유일한 준동형사상 \(\theta ^{*} : G / G ' \to H / H ' \)을 유도한다. 그러므로 임의의 군 \(G\)에 대하여 군을 가환군에 대응시키는, \(G\)로부터 \(G / G ' \)의 함자가 존재한다.
  • 단위원군(unit group) : 단위원을 가진 가환환의 범주로부터 군의 범주로의 함자로서 환을 그 환의 단위원의 군에 대응시킨다. 이 함자를 \(\mathbb{Unit}\)으로 나타낸다. 단위원을 보존하는 환준동형사상은 단워원을 단위원에 대응시키며 단위원의 군 위에서 군준동형사상을 유도한다.
  • 일반선형군(general linear group) : 임의의 \(n\)에 대하여 함자 \(\mathrm{GL}_n\)은 단위원을 가진 환 \(R\)를 \(R\) 위에서 가환인 \(n \times n \) 행렬들의 군 \(\mathrm{GL} (n,\,R)\)에 대응시킨다.
  • 군 작용(group action) : 임의의 군 \(G\)는 하나의 대상 \(*\)를 가진 범주이며, 이 범주에서 사상은 군 원소이다. 이제 \(G\)로부터 집합의 범주로의 함자 \(F\)를 생각해보자. \(F*\)는 집합 \(\varOmega\)이다. 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(Fg\)는 \(\varOmega\)로부터 \(\varOmega\)로의 대응이며 \[F(g_2 g_1 ) = (F g_2 )(F g_1 )\] 이고 \(F1\)은 \(\varOmega\) 위에서의 항등대응이다. 이것은 \(\varOmega\) 위에서 군 \(G\)의 치환 작용의 정의와 일치한다. 따라서 \(G\)로부터 집합으로의 함자는 \(G\)의 치환 표현 작용(permutation representation action)이다. 더욱 일반적으로, \(G\)로부터 대수(algebra)의 범주 \(\mathcal{C}\)로의 함수는 \(\mathcal{C}\)에서 대수의 자기준동형사상에 의한 \(G\)의 작용이다. 예컨대 \(\mathcal{C}\)가 \(F\) 위에서의 유한차원 벡터공간들로 구성되어 있다면 \(G\)로부터 \(\mathcal{C}\)로의 함자는 \(F\) 위에서의 행렬들에 의한 \(G\)의 표현이다.

자연변환

자연변환은 함자들 사이의 준동형사상이다. 자연변환은 각 대상에 대하여 두 함자에 의한 대상의 상 사이의 사상을 대응시킨다. 이것을 더 논리적으로 정의해 보자. \(\mathcal{C} = (O,\,M)\)과 \(\mathcal{C} ' = (O ' ,\, M ' )\)이 범주이고 \(F : \mathcal{C} \to \mathcal{C} ' \)과 \(G : \mathcal{C} \to \mathcal{C} ' \)이 함자라고 하자. 이때 \(T : F \to G\)가 자연변환(natural transformation)이라 함은 \(O\)로부터 \(M ' \)으로의 함수이면서 다음 두 조건을 모두 만족시키는 것을 뜻한다.

  • 임의의 \(x\in O\)에 대하여 \(\mathrm{dom} (Tx) =\) \(Fx \)이고 \(\mathrm{cod} (Tx) =\) \(Gx\)이다.
  • \(f\in M\)이고 \(\mathrm{dom} (f) = x ,\) \(\mathrm{cod} (f) = y\)일 때 \((Ty)(Ff) = \) \((Gf)(Tx)\)이다.

위 조건에서 \(Ff : Fx \to Fy ,\) \(Ty : Fy \to Gy\)이고 \(Tx : Fx \to Gx ,\) \(Gf : Gx \to Gy\)이다. 따라서 두 번째 조건의 등식의 양변이 모두 정의된다. 이와 같은 조건은 다음과 같은 가환 사각형(commutative square)으로 표현된다.

즉 위 그림은 \(Fx\)의 원소에서 출발하여 \(Gy\)의 원소에 도착할 때 어떤 길을 택하더라도 동일한 결과를 얻는다는 뜻이다.

자연변환의 정의만으로는 그 개념을 이해하기가 쉽지 않다. 몇 가지 예를 통해 자연변환의 개념을 살펴보자.

  • 행렬식(determinant) : \(\mathcal{C}\)가 단위원을 가진 가환환의 범주이고 \(\mathcal{C} ' \)이 군의 범주라고 하자. 단위원들의 군 \(\mathbb{Unit}\)과 가역인 \(n \times n\) 행렬들의 군 \(\mathbb{GL}_n\)은 모두 \(\mathbb{C}\)로부터 \(\mathbb{C} ' \)으로의 함자이다. 이제 \(\mathrm{det}\)가 \(\mathbb{GL}_n\)으로부터 \(\mathbb{Unit}\)으로의 자연변환임을 보이자. 먼저 임의의 가환환 \(R\)에 대하여 \(\mathrm{det}\)가 \(\mathbb{GL}(n,\,R)\)로부터 \(\mathbb{Unit} (R)\)로의 준동형사상임을 보여야 한다. 이것은 행렬식의 성질 \[\det (AB) = \det (A) \det (B)\] 로부터 얻어진다. 다음으로 \(f : R \to S\)가 환준동형사상이라고 하자. 그러면 \[ f ( \det (A)) = \det(fA)\] 이다. 여기서 \(f\)는 유도된 대응 \(\mathbb{GL}_n (R) \to \mathbb{GL}_n (S)\)와 \(\mathbb{Unit} (R) \to \mathbb{Unit} (S)\)를 나타낸다. 이들 두 대응을 각각 \(\mathbb{GL}_n (f) ,\) \(\mathbb{Unit} (f)\)로 나타낸다.
  • 군 작용(group action) : \(G\)가 군이라고 하자. \(G\)로부터 집합의 범주로의 함자는 집합 \(\varOmega\) 위에서 \(G\)의 치환 작용이다. 두 함자, 즉 집합 \(\varOmega _1\) 위에서의 작용과 집합 \(\varOmega_2\) 위에서의 작용 사이의 자연변환은 두 작용 사이의 \(G\)-준동형사상이다. 이 준동형사상 \(T : \varOmega _1 \to \varOmega_2\)는 임의의 \(\alpha \in \varOmega_1\)에 대하여 \(T(g \alpha ) =\) \(g (T\alpha )\)로 주어진다.
  • 이중쌍대(double dual) : \(F\)-벡터공간 \(V\)의 쌍대공간이란 \(V\)로부터 \(F\)로의 모든 선형사상들의 모임 \(V ' \)을 의미한다. 쌍대는 함자가 아닌데, 왜냐하면 쌍대는 사상의 방향을 바꾸기 때문이다. 즉 \(f : V \to W\)가 선형사상이면 \(f ' : W ' \to V ' \)은 임의의 \(\phi \in W ' ,\) \(v \in V\)에 대하여 \[ ( f ' \phi ) v = \phi ( f v )\] 로 정의된다. [이와 같이 사상의 방향을 바꾸는 함자를 반변함자(contravarient functor)라고 부른다.] 쌍대를 \(D\)로 나타내자. 그러면 \(D^2\)은 벡터공간의 범주로부터 벡터공간의 범주로의 함자가 된다. 또한 항등사상으로부터 \(D^2\)으로의 자연변환 \(T\)가 존재한다. 즉 \(TV : V \to V ' ' \)은 \(v \in V\)의 상이 \(V ' \)으로부터 \(F\)로의 대응 \(\phi \to \phi v\)가 되는 대응이다. 이로부터 벡터공간의 기저와 상관 없이 임의의 벡터공간으로부터 그 벡터공간의 이중쌍대공간으로의 자연매장함수(natural embedding)가 존재함을 알 수 있다.

\(T\)가 \(F\)로부터 \(U\)로의 자연변환이고 \(U\)가 \(G\)로부터 \(H\)로의 자연변환이면, 합성변환 \(UT\)는 \(F\)로부터 \(G\)로의 자연변환이며 임의이 대상 \(x\)에 대하여 \[(UT)x = (Ux)(Tx)\] 를 만족시킨다. 위 등식에서 우변은 두 사상 \(Tx : Fx \to Gx\)와 \(Ux : Gx \to Hx\)의 합성을 의미한다. 이와 같이 자연변환의 합성은 함자 범주에서 두 사상의 합성이다. 즉 \(\mathcal{C}_1\)과 \(\mathcal{C}_2\)가 범주라고 하자. 이때 \(\mathcal{C}_1\)로부터 \(\mathcal{C}_2\)로의 함자가 대상이고 두 범주 사이의 자연변환이 사상인 범주가 존재하는데, 이 범주를 함자 범주(functor category)라고 부르며 \({\mathcal{C}_2} ^{\mathcal{C}_1}\)으로 나타낸다.

예컨대 \(T\)가 단위원군 \(\mathbb{Unit}\)으로부터 \(\mathbb{GL}_n\)으로의 자연변환이고 \(u \in \mathbb{Unit} (R)\)를 \(\mathrm{diag} ( u ,\, 1 ,\, \cdots ,\, 1)\)에 대응시키는 자연변환이라고 하자. [여기서 \(\mathrm{diag} ( u ,\, 1 ,\, \cdots ,\, 1)\)은 첫 번째 성분만 \(u\)이고 다른 대각성분은 \(1\)인 대각행렬을 나타낸다.] 그리고 \(D\)를 행렬식이라고 하자. 그러면 \(DT\)는 항등변환이다.

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