범주 이론의 개념

By | Januar 16, 2018

수학 이론의 근간을 어디에 두느냐에 따라서 수학의 이론을 전개하는 방식이 달라진다. 수학 이론의 근간을 집합에 두면 순서쌍이나 함수는 특정한 조건을 만족시키는 집합으로 정의된다. 각각의 자연수 또한 집합이며, 정수, 유리수, 실수, 복소수와 같은 수의 개념들 모두 집합으로 정의된다. 마찬가지로 군(group)도 집합으로 정의된다. 즉 군은 첫 번째 좌표가 \(G\)의 원소이고 두 번째 좌표가 \(G\times G\)로부터 \(G\)로의 함수인 순서쌍들의 집합이다.

수학 이론의 근간이 되는 개념은 집합만 있는 것이 아니다. 수학 이론의 근간이 될 수 있는 또 다른 개념으로는 범주(category)가 있다. 범주 이론은 논의의 시작을 집합에 두지 않고 함수에 둔다. 이 포스팅에서는 범주 이론의 개념을 살펴보자.

1. 범주 이론의 모티브

범주 이론에서는 함수로부터 논의를 시작하기 때문에 합성함수를 다루는 일이 잦다. 그러므로 함수 \(f\)와 \(g\)의 합성을 \(g\circ f\)로 나타내는 대신 간편하게 \(gf\)로 나타내기로 하자. 또한 함수 \(f\)에 의한 \(x\)의 상을 \(f(x)\)로 나타내는 대신 \(fx\)로 나타내기로 하자.

범주 이론은 수학에서 다루는 여러 공간에서 중요한 것은 공간의 원소 자체보다 공간 사이의 함수라는 점에서 착안하여 성립된 이론이다. 예컨대 \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)가 함수라면 합성함수 \(gf : X \to Z\)가 존재한다. 더욱이 \(f\)가 일대일 함수일 필요충분조건은 \(gf = 1_X\)인 함수 \(g : Y \to X\)가 존재하는 것이며, \(f\)가 위에로의 함수일 필요충분조건은 \(fh = 1_Y\)인 함수 \(h : Y \to X\)가 존재하는 것이다. (여기서 \(1_X\)와 \(1_Y\)는 각각 \(X,\) \(Y\) 위에서 정의된 항등함수를 나타낸다.)

집합론에서 다루었던 함수의 성질을 더 살펴보자. 군의 결합법칙은 두 표현 \((ab)c\)와 \(a(bc)\)가 동일함을 나타낸다. 원소 \(a\)를 왼쪽에 곱하는 연산과 오른쪽에 곱하는 연산인 \(\lambda_a\)와 \(\rho_a\)를 이용하여 이러한 결합법칙을 표현할 수 있다. 즉 결합법칙은 임의의 \(a,\,c\in G\)에 대하여 \[ \rho_c \lambda_a b = (ab)c = a(bc) = \lambda_a \rho_c b \] 가 성립함을 나타낸다. 이 표현에서 함수와 원소를 모두 사용하였지만, 함수만 사용하여 위 조건을 표현할 수도 있다. \(\mu : G \times G \to G\)가 군 연산이라고 하자. \(\alpha_1 : G_1 \to H_1\)과 \(\alpha_2 : G_2 \to H_2\)가 함수이고 \[\alpha_1 \times \alpha_2 : G_1 \times G_2 \to H_1 \times H_2\] 가 성분별 연산으로 정의된 함수라고 하자. 이때 결합법칙은 \[\mu ( 1 \times \mu ) = \mu (\mu \times 1) \] 로서 \(G \times G \times G\)로부터 \(G\)로의 함수를 이용하여 정의될 수 있다. (여기서 \(1\)은 \(G\) 위에서 정의된 항등함수를 나타낸다.) 즉 위 식에서 \(\mu ( 1 \times \mu )\)는 \[(a,\,b,\,c) \mapsto (a,\,bc) \mapsto a(bc)\] 로 대응시키고, \(\mu (\mu \times 1)\)는 \[(a,\,b,\,c) \mapsto (ab,\,c) \mapsto (ab)c\] 로 대응시킨다.

두 집합의 카르테시안 곱도 함수를 이용하여 정의할 수 있다. \(X\)와 \(Y\)가 집합이라고 하자. 이때 \(X \times Y\)는 \(f\)와 \(g\)를 각각 \(X\)와 \(Y\)에 대응시키는 사영(projection)을 갖는 함수 \(P\)로 정의할 수 있다. 더욱이 \(Z\)가 집합이고 \(f ' : Z \to X\)와 \(g ' : Z \to Y\)가 합수이면 \[hf = f ' ,\quad gh = g '\] 을 모두 만족시키는 함수 \(h : Z \to P\)가 \(hz = (f ' z ,\, g ' z )\)로서 존재한다. 더욱이 이러한 성질은 집합, 함수, 카르테시안 곱을 차례대로 군, 준동형사상, 직적(direct product)으로 바꾸어도 성립한다.

또 다른 예를 살펴보자. \(V\)가 체 \(F\) 위에서의 벡터공간일 때, \(X\)가 \(V\)의 기저라는 것은 \(V\)를 생성하는 일차독립인 벡터들의 집함임을 의미한다. 이러한 기저의 성질은 함수를 이용하여 표현될 수 있다. 즉 \(X\)로부터 \(F\)-벡터공간 \(W\)에로의 일대일 함수는 \(V\)로부터 \(W\)로의 선형사상으로 유일하게 확장될 수 있다.

2. 범주의 정의

지금까지 살펴본 내용을 바탕으로 범주를 정의하자.

범주 \(\mathcal{C}\)는 다음과 같은 개체로 구성된다.

  • 대상(object)들의 모임 \(O .\) 이 모임을 \(\mathrm{ob}(\mathcal{C})\)로 나타내기도 한다.
  • 사상(morphism, arrow)들의 모임 \(M .\) 이 모임을 \(\mathrm{hom}(\mathcal{C})\)로 나타내기도 한다.
  • \(M\)으로부터 \(O\)로의 두 함수 \(\mathrm{dom}\)과 \(\mathrm{cod} .\) (여기서 \(\mathrm{dom}\)은 domain을 나타내고 \(\mathrm{cod}\)은 codomain을 나타낸다.)
  • 각 \(x \in O\)에 대하여 항등사상 \(1_x .\)
  • \(M\)에서의 합성 연산. 즉 \(f\)와 \(g\)를 \(gf\)에 대응시키는 연산. (단, \(f\)와 \(g\)의 합성이 존재하는 경우에 한한다.)

이 개체들은 다음 범주 공리를 만족시킨다.

  • 합성 \(gf\)가 존재할 필요충분조건은 \(\mathrm{cod}(f) = \mathrm{dom}(g)\)인 것이다. 또한 \(gf\)가 존재할 때 \(\mathrm{dom}(gf) =\) \(\mathrm{dom}(f)\)이고 \(\mathrm{cod}(gf) =\) \(\mathrm{cod}(g)\)이다.
  • \(gf\)와 \(hg\)가 모두 존재하면 \(h(gf) = (hg)f\)이다.
  • \(\mathrm{dom}(1_x ) = \mathrm{cod}(1_x ) = x\)이다.
  • \(\mathrm{dom} (f) = x\)이고 \(\mathrm{cod}(f) = y\)이면 \(f 1_x = f = 1_y f\)이다.

\(\mathcal{C}\)가 대상들의 모임 \(O\)와 사상들의 모임 \(M\)으로 이루어진 범주일 때 \(\mathcal{C} = (O,\, M)\)으로 나타낸다.

사상 \(f\)에 대하여 \(\mathrm{dom}(f) = x\)이고 \(\mathrm{cod}(f) = y\)인 것을 간단히 \(f : x \to y\)로 나타낸다. \(a\)를 정의역으로 하고 \(b\)를 공역으로 하는 사상들의 모임을 \(\mathrm{hom}(a,\,b)\)로 나타내자. 그러면 \[\mathrm{hom}(\mathcal{C}) = \bigcup_{a,\,b \in \mathrm{ob}(\mathcal{C})} \mathrm{hom}(a,\,b)\]가 성립한다.

범주 이론의 핵심 아이디어는 공간에 속한 대상보다 공간 사이의 사상이 더 중요하다는 것이다. 사실 범주는 사상, 합성, 항등사상만으로도 정의될 수 있다. 이때 대상은 그 대상을 대응시키는 항등사상에 의하여 정의된다.

3. 두 가지 중요한 보기

이제 범주 이론을 이해하기 위한 두 개의 보기를 살펴보자.

보기 1.  구조의 모임. \(O\)가 특정한 수학적 구조들의 모임이라고 하자. 예컨대 \(O\)는 군의 모임, 고정된 체 위에서의 벡터공간의 모임, 위상공간의 모임, 미분다양체의 모임 등이 될 수 있다.

\(O\)의 원소들 사이의 구조를 보존하는 사상들의 모임을 \(M\)이라고 하자. 예컨대 \(O\)가 군의 모임이면 \(M\)은 준동형사상의 모임이고 \(O\)가 벡터공간의 모임이면 \(M\)은 선형사상의 모임이며 \(O\)가 위상공간의 모임이면 \(M\)은 연속함수의 모임이다. \(f \in M\)에 대하여 \(f\)의 정의역과 공역은 각각 \(\mathrm{dom} (f) ,\) \(\mathrm{cod} (f)\)이다. 또한 함수의 합성이 합성 연산이며, \(x\) 위에서의 항등사상은 \(1_x\)이다.

구조를 보존하는 사상 중 일부만 택하여 범주를 얻을 수도 있다. 예컨대 일대일 대응만을 사상으로 택하거나 위에로의 함수만을 사상으로 택할 수 있다. 미분 다양체의 경우에는 연속함수, 미분 가능한 함수, 매끄러운 함수 등을 택할 수 있다.

이와 같이 대상들이 구조를 가진 집합이고 사상이 함수인 범주를 구체적 범주(concrete category)라고 부른다.

보기 2.  개별적 구조들. 군 \(G\)를 범주로 나타낼 수 있다. 즉 범주가 하나의 대상 \(*\)를 가진다고 하고, 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \[\mathrm{dom} (g) = \mathrm{cod} (g) = *\] 를 만족시키는 사상들의 모임을 \(G\)라고 하자. 또한 \(G\)에서의 항등원 \(1\)에 대하여 \(1_* = 1\)이라고 하자. 대상이 하나 뿐이므로 임의의 사상은 합성될 수 있다.

이 예를 염두에 두고, 군보다 더 일반적인 대수적 대상으로부터 범주를 얻는 예를 생각해 볼 수 있다. 즉 범주의 범주를 생각해 볼 수 있다.

범주는 두 가지 측면에서 군보다 더 일반화된 개념이다. 범주는 둘 이상의 대상을 가질 수 있다. 또한 사상이 가역이지 않은 경우를 포함한다. 군의 두 조건 중 하나를 변형함으로써 다른 종류의 범주를 얻을 수 있다.

임의의 사상 \(f : x \to y\)가 역사상 \(g : y \to x\)를 갖는 범주를 아군(groupoid)이라고 부른다. 예컨대 수학적 구조의 모임을 대상으로 하고 구조를 보존하는 일대일 대응을 사상으로 하는 범주는 아군이 된다.

다음으로, 대상이 하나 뿐인 범주를 모노이드(monoid)라고 부른다. 즉 군의 조건 중 결합법칙과 항등원 성질을 만족시키지만 역원 성질은 만족시키지 않을 수도 있는 합성 연산을 가진 범주가 모노이드이다. 따라서 하나의 구조 \(x\)에 대한 자기사상(endomorphism)을 가진 범주가 모노이드이다.

4. 집합과 관련된 개념들

\(\mathcal{C} = (O,\,M)\)이 범주라고 하자. 만약 \(O ' \subseteq O \)과 \(M ' \subseteq M\)이 범주의 조건을 만족시키면 \(\mathcal{C} ' = (O ' ,\, M ' )\)을 \(\mathcal{C}\)의 부분범주(subcategory)라고 부른다. 특히 \(O ' \)이 \(O\)의 부분집합이고 정의역과 공역이 모두 \(O ' \)인 사상들의 모임을 \(M ' \)이라고 하면 \(\mathcal{C} ' = (O ' ,\, M ' )\)은 \(\mathcal{C}\)의 부분범주가 된다. 이러한 범주를 꽉찬 부분범주(full subcategory)라고 부른다. 예컨대 가환군들의 모임은 군들의 모임으로 이루어진 범주의 꽉찬 부분범주이다.

범주 이론에서 사상 \(f : x \to y\)를 다음과 같이 구분한다.

  • 사상 \(g : y \to x\)가 존재하여 \(gf = 1_x\)를 만족시킬 때 \(f\)를 일대일 사상(monic, monomorphism)이라고 부른다.
  • 사상 \(h : y \to x\)가 존재하여 \(fh = 1_y\)를 만족시킬 때 \(f\)를 위에로의 사상(epic, epimorphism)이라고 부른다.
  • 일대일인 동시에 위에로인 사상을 동형사상(isomorphism)이라고 부른다.

집합과 함수로 이루어진 범주에서, 함수가 일대일 사상일 필요충분조건은 일대일 함수인 것이며, 함수가 위에로의 사상일 필요충분조건은 위에로의 함수인 것이다. 하지만 구체적 범주에서는 사상이 이와 같은 성질을 갖지 않는다. 즉 구체적 범주에서는 일대일 사상은 모두 일대일 함수이고, 위에로의 사상은 모두 위에로의 함수이지만 그 역은 성립하지 않는다.

범주 공리에 의하여, \(f\)가 동형사상인 경우 \(f\)의 왼쪽 역원과 오른쪽 역원은 일치한다. 즉 \(f\)의 왼쪽 역원과 오른쪽 역원을 각각 \(h,\) \(g\)라고 하자. 그러면 \[g = g1_y = g(fh) = (gf)h = 1_x h = h\] 이다. 이때 \(f\)의 역원을 \(f\)의 역사상(inverse)이라고 부른다.

\(y\)가 대상이고 일대일 사상 \(f : y \to x\)가 존재할 때 \(y\)를 \(x\)의 부분대상(subobject)이라고 부른다. 이 개념은 '부분군'이나 '부분환'보다 더 일반화된 개념이다. 예컨대 군의 모임과 군준동형사상의 모임으로 이루어진 있는 범주에서 군 \(x\)의 부분대상은 \(x\)의 부분군과 동형인 군 \(y\)들의 모임이다.

대상의 곱도 정의할 수 있다. \(x\)와 \(y\)가 범주의 대상이라고 하자. 그리고 \(p\)가 대상이며 \(f : p \to x \)와 \(g : p \to y\)가 사상이라고 하자. 만약 임의의 대상 \(z\)와 임의의 사상 \(f ' : z \to x ,\) \(g ' : z \to y\)에 대하여 사상 \(h : z \to p\)가 유일하게 존재하여 \(fh = f ' ,\) \( gh = g '\)을 만족시키면, 사상 \(f,\) \(g\)와 함께 \(p\)를 \(x,\) \(y\)의 (product)이라고 부른다. 예컨대 집합의 범주에서 곱은 카르테이산 곱이며, 군의 범주에서 곱은 직적이다.

정리 3. 범주에서 \(x\)와 \(y\)의 곱들은 서로 동형이다.

증명. \((p,\,f,\,g)\)와 \((p ' ,\, f ' ,\, g ' )\)이 \(x\)와 \(y\)의 곱이라고 하자. 곱의 정의에 따라 사상 \(f ' : p ' \to x\)와 \(g ' : p ' \to y\)가 존재한다. \(p\)가 곱이므로 사상 \(h : p ' \to p\)가 유일하게 존재하여 \(fh = f ' \)과 \(gh = g ' \)을 만족시키며, 사상 \(k : p \to p ' \)이 유일하게 존재하여 \(f ' k = f\)와 \(g ' k = g\)를 만족시킨다. 이제 \(p\)로부터 그 위에로의 사상 \(hk\)와 \(1_p\)를 생각해 보자. \[fhk = f = f 1_p ,\quad ghk = g = g 1_p\] 가 성립한다. 이때 곱의 정의에서 유일성에 의하여 \(hk = 1_p\)를 얻는다. 같은 방법으로 \(kh = 1_p\)를 얻는다. 그러므로 \(h\)와 \(k\)는 역사상이며, 그들 모두 동형사상이다.

\(\mathcal{C}\)의 임의의 두 원소의 곱이 존재할 때 범주 \(\mathcal{C}\)는 곱을 가진다라고 말한다.

화살표의 방향을 반대로 바꾸는 표기법을 이용하여 쌍대곱을 정의할 수 있다. \(x\)와 \(y\)가 범주의 대상이라고 하자. 그리고 \(q\)가 대상이며 \(f : x \to q \)와 \(g : y \to q\)가 사상이라고 하자. 만약 임의의 대상 \(z\)와 임의의 사상 \(f ' : x \to z,\) \(g ' : y \to z\)에 대하여 사상 \(h : q \to z\)가 유일하게 존재하여 \(hf = f ' ,\) \(hg = g ' \)을 만족시키면, 사상 \(f ,\) \(g\)와 함께 \(q\)를 \(x,\) \(y\)의 쌍대곱(coproduct)이라고 부른다. 예컨대 집합의 범주에서 서로소 합집합은 쌍대곱이다. \(\mathcal{C}\)의 임의의 두 원소의 쌍대곱이 존재할 때 범주 \(\mathcal{C}\)는 쌍대곱을 가진다라고 말한다.

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