집합위계

By | Januar 10, 2018

20세기 초 직관적 집합론의 역리들을 제거하기 위하여 수학자들의 다양한 시도가 있었다. 그 중 Zermelo는 집합위계(hierarchy)를 이용하여 집합론의 역리들을 피하고자 하였다. Zermelo의 아이디어는 집합에 계층을 대응시키되, 계층들의 집합이 정렬집합이 되도록 하는 것이다. 만약 각 계층에서 Russell 집합(자기 자신의 원소가 되는 집합)이 나타나지 않는다면 Russell의 역리를 피할 수 있게 된다.

서수를 이용하여 각 계층(stage)에 이름붙임으로써 계층들이 정렬되도록 하자. 계층이 \(\alpha\)인 모든 집합들의 모임을 \(V_{\alpha}\)라고 하자. 이때 모든 \(V_{\alpha}\)를 다음과 같이 귀납적으로 정의할 수 있다. \[\begin{eqnarray} V_0 &:=& \varnothing, \\[7pt] V_{s(\alpha )} &:=& \mathcal{P} V_{\alpha} , \\[5pt] V_{\lambda} &:=& \bigcup_{\alpha < \lambda} V_{\alpha} \,\, \text{for limit ordinals } \lambda . \end{eqnarray}\] 처음 몇 개의 \(V_{\alpha}\)를 나열하면 다음과 같다. \[\begin{eqnarray} V_0 &=& \varnothing , \\[7pt] V_1 &=& \left\{ \varnothing \right\} , \\[7pt] V_2 &=& \left\{ \varnothing ,\, \left\{ \varnothing \right\} \right\} , \\[7pt] V_3 &=& \left\{ \varnothing ,\, \left\{ \varnothing \right\} ,\, \left\{ \left\{ \varnothing \right\} \right\} ,\, \left\{ \varnothing ,\, \left\{ \varnothing \right\} \right\} \right\} , \\[7pt] & \vdots & \end{eqnarray}\] 자연수 \(\alpha\)에 대하여 \(V_{\alpha}\)는 \(2^{\alpha -1}\)개의 원소를 가진 집합이 된다.

이와 같은 Zermelo의 접근 방법을 따르면 '모든' 집합의 계층을 부여할 수 있다. 즉 임의의 집합 \(E\)에 대하여 서수 \(\alpha\)가 존재하여 \(E \in V_{\alpha}\)이다. 즉 \(OR\)가 모든 서수의 모임일 때 \[V := \bigcup_{\alpha \in OR} V_{\alpha}\] 로 정의된 클래스 \(V\)는 모든 집합의 모임이 된다.

이제 집합위계와 관련된 두 가지 성질을 살펴보자. 다음 정리는 서수(첨자)가 커질수록 집합에 되는 계층도 증가함을 나타낸다.

정리 1. \(\alpha < \beta\)이면 \(V_{\alpha} \subseteq V_{\beta}\)이다.

증명. 초한귀납법을 이중으로 사용하여 증명하자. 증명은 두 단계로 나뉜다.

1단계. 임의의 서수 \(\alpha\)에 대하여 \(V_{\alpha} \subseteq V_{s(\alpha )}\)임을 보이면 충분함을 보이자. 이 주장이 참이라고 가정(귀납적 가정)하고 \(\alpha < \beta\)이며 \(V_{\alpha} \not\subseteq V_{\beta}\)라고 가정하자. \(\beta\)가 그러한 조건을 만족시키는 서수 중에서 가장 작은 것이라고 하자. 명백히 \(\beta \ne 0\)이므로 다음과 같은 두 가지 경우를 조사하면 된다.

\(\beta\)가 직후자서수인 경우, \(\beta = s(\gamma )\)라고 하자. 그러면 \(\alpha \leq \gamma\)이므로 \[V_{\alpha} \subseteq V_{\gamma} \subseteq V_{s(\gamma )} = V_{\beta}\] 이다. 여기서 두 번째 포함관계는 1단계를 시작할 때 제시한 주장으로부터 얻어졌다. 다음으로 \(\beta\)가 극서수인 경우, \(\alpha \leq \lambda < \beta\)인 임의의 \(\alpha ,\) \(\lambda\)에 대하여 \(V_\alpha \subseteq V_{\lambda}\)이므로 \[V_{\alpha} \subseteq \bigcup_{\lambda < \beta} V_{\lambda} = V_{\beta}\] 이다. 이로써 두 경우 모두 \(V_{\alpha} \subseteq V_{\beta}\)가 성립한다.

2단계. 초한귀납법을 이용하여 임의의 \(\alpha\)에 대하여 \(V_{\alpha} \subseteq V_{s(\alpha )}\)임을 보이자. 이번에는 세 가지 경우를 조사하면 충분하다.

\(\alpha =0\)인 경우, \(V_{\alpha}\)는 공집합이므로 임의의 집합의 부분집합이다. 다음으로 적당한 \(\gamma\)에 대하여 \(\alpha = s(\gamma )\)인 경우, \(x\in V_{\alpha}\)를 하나 잡으면 \[x \subseteq V_{\gamma} \subseteq V_{s(\gamma )} = V_{\alpha}\] 이므로 \(x \in \mathcal{P} V_{\alpha} = V_{s(\alpha )}\)이다. 끝으로 \(\alpha\)가 극서수인 경우, \(x\in V_{\alpha}\)를 하나 잡으면 \(\delta < \alpha\)인 적당한 \(\delta\)에 대하여 \(x\in V_{\delta}\)이다. 여기서 \[V_{s(\delta )} = \mathcal{P} V_{\delta} \subseteq \mathcal{P} V_{\alpha} = V_{s(\alpha )}\] 이므로 \[x\in V_{s(\delta )} \subseteq V_{s(\alpha )}\] 이다. 이로써 \(V_{\alpha} \subseteq V_{s(\alpha )}\)가 증명되었다.

다음 정리는 임의의 서수가 집합계층에 대응됨을 나타낸다.

정리 2. 임의의 서수 \(\alpha\)에 대하여 \(\alpha \subseteq V_{\alpha}\) 즉 \(\alpha \in V_{s(\alpha )}\)이다.

증명. 이번에도 초한귀납법을 이용하여 증명하자.

\(\alpha =0\)인 경우, 공집합은 임의의 집합의 부분집합이다.

\(\alpha = s(\gamma )\) 즉 \(\alpha = \gamma \cup \left\{ \gamma \right\}\)인 경우, 귀납적 가정에 의하여 \(\gamma \subseteq V_{\gamma} \subseteq V_{\alpha}\)이고 \(\gamma \in V_{s(\gamma )} = V_{\alpha}\)이다. 따라서 \(\alpha \subseteq V_{\alpha}\)이다.

\(\alpha\)가 극서수인 경우 \[\alpha = \bigcup_{\delta < \alpha} \delta \subseteq \bigcup_{\delta < \alpha} V_{\delta} = V_{\alpha}\] 이다.

이로써 초한귀납법에 의하여 임의의 \(\alpha\)에 대하여 \(\alpha \subseteq V_{\alpha}\)이다.

지금까지 살펴본 방법으로 집합론을 설계할 때 걸림돌이 되는 두 가지 사항이 있다.

  • 서수를 이용하여 집합의 계층을 정의하고, 집합계층의 모임이 모든 집합을 원소로 가짐을 보였는데, 서수는 이미 집합이므로 이러한 접근법은 순환적 정의라고 할 수 있다.
  • 이러한 방법으로 집합을 정의하면 집합에 관한 성질을 증명하기가 대단히 어렵다.

이러한 이유 때문에 오늘날에는 집합론의 역리를 피하기 위하여 집합위계를 이용하는 대신 Zermelo-Fraenkel 공리를 이용한다.

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