집합론의 ZFC 공리

By | Dezember 20, 2017

집합에 관한 모든 문장은 원소 관계를 이용하여 나타낼 수 있다. 그러므로 집합론의 공리에서 사용되는 일계논리언어는 하나의 이항관계를 가진다. 일계논리언어를 이용하여 집합론의 공리를 논할 때 관계기호 \(R\)에 대하여 \((x,\,y) \in R\)로 나타내는 대신 \(x\in y\)로 나타내자.

집합론의 Zermelo-Fraenkel 공리는 다음과 같은 열 개의 공리로 이루어져 있다.

  1. 확장 공리 (Extension Axiom)
    두 집합이 동일한 원소를 가지고 있으면 두 집합은 서로 같다.
  2. 공집합 공리 (Empty Set Axiom)
    어떠한 원소도 가지고 있지 않은 집합, 즉 공집합 \(\varnothing\)이 존재한다.
  3. 짝 공리 (Pair Set Axiom)
    \(x\)와 \(y\)가 집합이면 이들 두 집합만을 원소로 갖는 집합 \(\left\{x,\,y\right\}\)가 존재한다.
  4. 합집합 공리 (Union Axiom)
    \(x\)가 집합이면 \(x\)의 원소들의 원소들로 이루어진 집합 \(\cup x\)가 존재한다.
  5. 멱집합 공리 (Poser Set Axiom)
    \(x\)가 집합이면 \(x\)의 부분집합들로 이루어진 집합 \(\mathcal{P} x\)가 존재한다.
  6. 무한 공리 (Axiom of Infinity)
    두 조건 \(\varnothing \in a \)와 \((x\in a) \Rightarrow (\left\{ x \right\} \in a)\)를 모두 만족시키는 집합 \(a\)가 존재한다.
  7. 분류 공리 (Selection Axiom)
    \(\phi\)가 집합론의 언어에서 일계논리식이고 하나의 자유변수 \(x\)를 가지고 있으며 \(a\)가 집합이라고 하자. 그러면 \(a\)의 원소 중에서 \(\phi (x)\)를 만족시키는 것들만을 원소로 갖는 집합 \(b\)가 존재한다. 이 집합을 \(b = \left\{ x \,\vert\, \phi (x) \right\}\)로 나타낸다.
  8. 치환 공리 (Replacement Axiom)
    \(\psi\)가 일계논리식이고 부분함수를 정의하는 두 변수 \(x,\) \(y\)를 가진다고 하자. 즉 임의의 \(x\)에 대하여 \(\psi\)를 만족시키는 \(y\)가 많아야 하나 존재한다고 하자. 그러면 적당한 \(x \in a\)에 대하여 \(\psi(x,\,y)\)를 만족시키는 \(y\)들로만 구성된 집합 \(b\)가 존재한다. 이 집합을 \(b = \left\{ f(x) \,\vert\, x\in a\right\}\)로 나타낼 수 있으며, 여기서 \(f\)는 \(\psi\)에 의하여 정의된 함수가 된다.
  9. 정칙성 공리 (Foundation Axiom)
    \(x\)가 공집합이 아니면 \(y\in x\)가 존재하여 \(x\cap y = \varnothing\)을 만족시킨다.
  10. 선택 공리 (Axiom of Choice)
    \(F : X \rightarrow Y\)가 함수이고 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(F(x) \neq \varnothing\)이면 함수 \(f : X \rightarrow \cup Y\)가 존재하여 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(f(x) \in F(x)\)를 만족시킨다.

위 열 개의 공리를 통틀어 ZFC로 나타내며, 선택 공리를 제외한 1번부터 9번까지의 공리를 통틀어 ZF로 나타낸다. (선택 공리를 특별하게 다루는 것은 20세기 초 수학자들이 ZF를 이용하여 선택 공리를 증명하기 위해 노력했었기 때문이다.)

위 공리들은 비형식적인 문장으로 표현되어 있지만 각 문장은 일계논리언어의 문장으로 나타낼 수 있다. 예컨대 확장 공리는 \[(\forall x)(\forall y)(( x=y ) \leftrightarrow (\forall z)((z\in x) \leftrightarrow (z\in y )))\] 로 나타낼 수 있으며, 합집합 공리는 \[(\forall x)(\exists y)(\forall z)((x\in y) \leftrightarrow (\exists w)((w \in x) \wedge (z\in w)))\] 로 나타낼 수 있다. 함수를 언급하는 공리의 경우에는 일계논리언어의 문장으로 나타내는 것이 다소 까다롭다. 짝 공리를 세 번 거듭 이용하면 순서쌍 \((x,\,y) = \left\{ \left\{ x \right\} ,\, \left\{ x,\,y \right\} \right\}\)의 존재성을 보장할 수 있다. 즉 '\(x\)는 순서쌍이다'라는 문장은 일계논리식으로 표현될 수 있다. 또한 \(X,\) \(Y\)가 집합일 때 분류 공리에 의하여 \(\mathcal{P} \mathcal{P} \left( \cup \left\{ X,\,Y \right\} \right)\)는 집합이며, 이 집합의 부분집합으로서 카르테시안 곱 \(X \times Y\)도 집합이다. 이로써 '\(f\)는 \(X\)로부터 \(Y\)로의 함수이다'라는 문장은 일계논리식으로 표현될 수 있다. 이렇게 함수의 개념을 나타내는 논리식은 선택 공리를 논리식으로 나타낼 때 사용된다. 반면에 이러한 논리식이 치환 공리를 나타낼 때에는 사용되지 않는다. 왜냐하면 치환 공리에서 말하는 함수란 일계논리언어에서 자체적으로 정의된 함수를 이르기 때문이다. 즉 치환 공리에서는 두 조건 \[(\forall x)((x \in a) \rightarrow (\exists y) \phi (x,\,y))\] 와 \[(\forall x)(\forall y)(\forall z)((\phi (x,\,y) \wedge \phi (x,\,z)) \rightarrow (y=z))\] 를 만족시키는 집합 \(a\)와 논리식 \(\phi\)만 생각하면 된다.

이제 ZFC 공리계의 몇 가지 특징을 살펴보자.

참고 1. 확장 공리는 공집합 공리, 합집합 공리, 멱집합 공리, 분류 공리, 치환 공리를 이용하여 만들어진 집합의 유일성을 보장한다. 이 때문에 공집합, 합집합, 멱집합을 기호로 나타낼 수 있다. 사실 일계논리식에서 공집합, 합집합, 멱집합의 개념을 포함하려면 이들을 논리식으로 나타내야 한다. 예컨대 무한 공리에서 \(\varnothing \in a\)를 논리식으로 나타내면 \[(\forall x)((\forall y)(\neg (y \in x )) \rightarrow (x \in a))\] 가 된다.

참고 2. 공집합 공리를 '집합이 존재한다'라는 공리로 약화시켜도 된다. 왜냐하면, \(a\)가 집합일 때 분류 공리에 의하여 \[\left\{ x \in a \,\vert\, \neg (x=x) \right\}\] 로서 공집합을 정의할 수 있기 때문이다. 같은 방법으로 무한 공리는 '무한집합이 존재한다'라는 공리로 약화시켜도 된다. 그러나 '무한집합이 존재한다'라는 문장은 일계논리의 문장으로 나타낼 수 없다. 무한 공리와 분류 공리는 공집합 공리를 함의하므로, 이들 세 공리는 독립적이지 않다.

참고 3. 짝 공리는 치환 공리와 이원집합(원소가 두 개인 집합)의 존재성으로부터 얻어질 수 있다. [이원집합의 존재성은 \(\mathcal{P} \mathcal{P} \varnothing\)으로부터 얻어진다.] 즉 서로 다른 두 집합 \(x,\) \(y\)에 대하여, 변수가 두 개이고 \((\varnothing ,\, x)\)와 \((\left\{ \varnothing \right\} ,\, y)\)에 대해서만 참인 논리식이 존재한다. 이 논리식에 치환 공리를 적용하면 짝 공리의 결과를 얻는다.

한편 치환 공리로부터 분류 공리를 얻을 수 있다. 즉 \(\phi\)가 일계논리식일 때 \(\psi\)를 다음과 같이 정의하자. \[(\phi (x) \wedge (y=x))\] 그러면 \(\psi\)에 의하여 정의된 함수 \(f\)는 \(\phi\)를 만족시키는 원소를 그들 자신에게 대응시키므로 다음을 얻는다. \[\left\{ f(x) \,\vert\, x \in a \right\} = \left\{ x \in a \,\vert\, \phi (x) \right\}\] 치환 공리는 논리적 구성 과정이 어떠한 모임의 크기를 증가시키지 않는다면 구성 과정에 의하여 얻어진 모임 또한 집합임을 나타낸다.

참고 4. 분류 공리와 치환 공리는 각각 하나의 논리식이 아니다. 이들 두 공리는 각각 무한히 많은 공리들로 구성된 '공리꼴(axiom schema)'이다.

참고 5. 정칙성 공리는 원소 관계에 의한 무한감소열 \[\cdots \in x_2 \in x_1 \in x_0\] 이 존재하지 않는다는 것과 동치이다. 이 사실은 초정리인데, 그 이유는 이와 같은 진술은 일계논리식으로 표현될 수 없기 때문이다. 그 증명은 다음과 같다.

먼저 원소 관계에 의한 무한감소열이 존재한다고 가정하자. \(x = \left\{ x_n \,\vert\, n \in \mathbb{N} \right\}\)이라고 하자. \(y\)가 \(x\)의 임의의 원소라고 하자. 그러면 적당한 \(n\)에 대하여 \(y=x_n\)이다. 이때 \(x_{n+1} \in y \cap x\)이므로 정칙성 공리에 모순이다.

이번에는 정칙성 공리가 거짓이라고 가정하자. 그리고 정칙성 공리가 거짓이 되도록 하는 반례 집합을 \(x\)라고 하자. 즉 \(x \neq \varnothing\)이고 임의의 \(y\in x\)에 대하여 \(x \cap y \neq \varnothing\)이라고 가정하자. 이제 \(x_0 := x\)라고 하고, \(x \cap x_n\)의 원소 중 공집합이 아닌 것을 \(x_{n+1}\)로 정의하자. 그러면 무한감소열 \(\left\{ x_n \right\}\)이 귀납적으로 정의된다. 특히 수학적 귀납법을 이용하면 임의의 \(n\)에 대하여 \(x_n \in x\)임이 증명되며, 가정에 의하여 \(x \cap x_n \neq \varnothing\)이다.

무한감소열이 존재하지 않는 성질은 Zermelo의 집합위계(hierarchy)의 결과이다. 무한감소열 \(\left\{ x_n \right\}\)이 존재하고 \(V_{\alpha}\)이 최상위원소 \(x_0\)을 원소로 갖는 위계의 첫 계층이라고 가정해 보자. \(\alpha\)는 후자 서수(successor ordinal)이다. 더욱이 \(\alpha\)는 가능한 가장 작은 것으로 택해질 수 있다. 즉 \(V_{\alpha}\)보다 이른 계층의 최상위원소를 갖는 무한감소사슬이 존재하지 않도록 택해질 수 있다. 그런데 만약 \(\alpha = s(\beta )\)이면 \(x_0\)을 제거함으로써 \(x_1\)는 \(V_{\beta}\)에 속하며 무한감소사슬의 최상위원소가 되는데, 이것은 모순이다.

참고 6. 선택 공리를 제외한 ZF 공리는 Zermelo의 집합위계로부터 비형식적으로 얻어질 수 있다. 확장 공리는 모든 것이 집합이라는 것을 뜻한다. 공집합 공리와 무한 공리는 각각 제 1 계층과 \(\omega +1\) 계층에서 나타나는 집합의 존재성을 나타낸다. 짝 공리, 합집합 공리, 멱집합 공리, 치환 공리는 주어진 집합으로부터 새로운 집합을 만들 수 있도록 해준다. 멱집합 공리는 집합위계가 정의된 과정에 암묵적으로 포함되어 있다. 예컨대 합집합 공리를 생각해보자. 만약 \(x\)가 제 \(\alpha\) 계층에서 처음 나타난다면 \(\alpha\)의 임의의 선행자 \(\beta\)에 대하여 \(x\)의 모든 원소는 제 \(\beta\) 계층에서 나타나며, 그 원소들의 원소는 \(\beta\)의 선행자 계층에서 나타난다. 따라서 \(\cup x\)는 제 \(\beta\) 계층이나 또는 그 선행자 계층에서 나타난다.

분류 공리 또한 주어진 집합으로부터 새로운 집합을 만들 수 있도록 해주지만, 앞에서 언급한 공리들과는 다른 관점에서 생각해야 한다. 일계논리언어로 기술될 수 있는 속성을 가진 원소들의 모임이 실제로 집합이 된다는 것을 보장함으로써 분류 공리는 멱집합의 개념을 명확하게 하는 데에 도움을 준다.

끝으로 정칙성 공리는 집합위계의 각 계층에서 나타나는 집합이 모든 집합을 빼놓지 않고 나타낸다는 것을 보장한다. 왜냐하면, 만약 집합 \(x_0\)이 집합위계의 모든 계층에서 나타나지 않는다면 \(x_0\)의 적당한 원소 \(x_1\) 또한 모든 계층에서 나타나지 않으며, 이 과정을 반복하여 정칙성 공리에 위배되는 무한감소사슬을 구성할 수 있기 때문이다.

참고 7. 정칙성 공리에 의하여 무한감소사슬이 존재하지 않는다는 사실을 보일 때 선택 공리가 사용되었다. (즉 선택공리는 집합위계를 대체할 수 있도록 집합론을 구성할 때 필수적이라 할 수 있다.)

지금까지 Zermelo의 구성 방법이 수학의 다양한 분야에서 이론을 전개하는 데에 충분한 것으로 인정받으므로, ZFC 공리계를 집합론의 공리로 받아들인다.

Zermelo의 집합위계는 Russell의 역리를 피하기 위하여 만들어진 것이다. 그런데 ZFC는 Zermelo의 집합위계를 대체하기에 충분하므로, ZFC에서는 Russell의 역리를 피할 수 있다. 왜냐하면 ZFC에서는 자기 자신을 원소로 갖는 집합은 존재하지 않기 때문이다. \(y\)가 자기 자신을 원소로 갖는 집합이고 \(x = \left\{ y \right\}\)라고 해보자. \(x\)의 원소는 \(y\) 뿐이므로 정칙성 공리에 의하여 \(x \cap y = \varnothing\)이다. 그런데 \(y\in x\)이므로 \(y \notin y\)이다.

Russell의 집합이 존재하지 않는다는 사실로부터 모든 집합의 집합은 존재하지 않는다는 사실을 밝힐 수 있다. 만약 그러한 집합 \(S\)가 존재한다면 \(S\)는 자기 자신을 원소로 갖는 집합이 되므로 모순이다.

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