Cauchy의 가법적 함수방정식

By | Februar 6, 2018

함수 \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 임의의 실수 \(x,\) \(y\)에 대하여 \[f(x+y) = f(x) + f(y)\] 를 만족시킬 때 \(f\)는 가법적이다(additive) 또는 덧셈을 보존한다고 말한다. 그리고 가법적인 실함수를 구하는 방정식을 Cauchy의 가법적 함수방정식(Cauchy's additive functional equation) 또는 간단히 Cauchy 함수방정식이라고 부른다.

1821년 Cauchy는 가법적인 연속함수가 모두 선형사상임을 보였다.

정리 1.  Cauchy 함수방정식의 Cauchy 해.

가법적인 연속 실함수는 선형사상이다. 즉 \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 연속함수이고 임의의 실수 \(x,\) \(y\)에 대하여 \(f(x+y) = f(x) + f(y)\)를 만족시키면, 상수 \(c\)가 존재하여 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = cx\)를 만족시킨다.

증명. \(c := f(1)\)이라고 하자.

단계 1. \(f\)가 홀함수(기함수; odd function)임을 보이자. \[f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0)\] 이므로 \[f(0) = 0\tag{1}\] 이다. 그리고 임의의 \(x\)에 대하여 \(f(0) = f(x-x) = f(x) + f(-x)\)이므로 \[f(-x) = - f(x) \tag{2}\] 이다. 즉 \(f\)는 홀함수이다.

단계 2. 임의의 유리수 \(r\)에 대하여 \(f(r) = cr\)임을 보이자.

\(x\)가 실수일 때, \(f(1x) = 1f(x)\)이며, 자연수 \(p\)에 대하여 \[f(px) = p f(x) \tag{3}\] 가 성립한다고 가정하면 \[\begin{align} f((p+1)x) &= f(px + x) \\[8pt] &= f(px) + f(x) \\[8pt] &= pf(x) + f(x) \\[8pt] &= (p+1)f(x) \end{align}\] 이므로 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 \(p\)에 대하여 (3)이 성립한다. (3)에 \(p=q,\) \(x= \frac{1}{q}\)을 대입하면 \[f(1) = q f\left( \frac{1}{q} \right)\] 이므로 임의의 자연수 \(q\)에 대하여 \[f\left( \frac{1}{q} \right) = \frac{c}{q} \tag{4}\] 를 얻는다. 다시 (3)에 \(x = \frac{1}{q}\)을 대입하면 \[f\left( \frac{p}{q} \right) = p f\left(\frac{1}{q} \right) \tag{5}\] 이므로 (4), (5)에 의하여 임의의 자연수 \(p,\) \(q\)에 대하여 \[f\left( \frac{p}{q} \right) = \frac{cp}{q} \tag{6}\] 가 성립한다. \(r = \frac{p}{q}\)라고 하면 (6)은 임의의 양의 유리수 \(r\)에 대하여 \[f(r) = cr \tag{7}\] 가 성립함을 의미한다. 더욱이 (1)과 (2)에 의하여 (7)은 \(r \le 0\)인 유리수 \(r\)에 대해서도 성립한다.

단계 3. 무리수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = cx\)임을 보이자. 무리수 \(x\)가 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 \(x\)에 수렴하는 유리수열 \(\left\{r_n \right\}\)이 존재한다. 이때 \(f\)는 \(x\)에서 연속이므로 (7)에 의하여 \[ f(x) = \lim_{n\to\infty} f(r_n) = \lim_{n\to\infty} c r_n = cx\] 로서 원하는 결론을 얻는다.

위 정리의 증명 과정 [단계 1]과 [단계 2]에서는 \(f\)가 연속이라는 조건을 사용하지 않았으므로, \(f\)가 가법적 함수일 때 이 결과를 사용할 수 있다.

1875년 Darboux는 위 정리에서 '연속함수'라는 조건을 '한 점에서 연속'으로 바꾸어도 동일한 결과를 얻음을 보였다.

정리 2.  Cauchy 함수방정식의 Darboux 해.

가법적이고 하나 이상의 점에서 연속인 실함수는 선형사상이다. 즉 \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 임의의 실수 \(x,\) \(y\)에 대하여 \(f(x+y) = f(x) + f(y)\)를 만족시키고 \(f\)가 연속이 되는 점 \(a\)가 존재하면 , 상수 \(c\)가 존재하여 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = cx\)를 만족시킨다.

증명. \(f\)가 연속함수임을 보이자. \(p\)가 실수라고 하자. 그리고 양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(f\)가 \(a\)에서 연속이므로 양수 \(\delta\)가 존재하여 \[ \lvert x-a \rvert < \delta \quad \longrightarrow \quad \lvert f(x) - f(a) \rvert < \epsilon \tag{8} \] 을 만족시킨다. 동일한 \(\delta\)에 대하여 \[ \lvert x-p \rvert < \delta \tag{9}\] 라고 하면 \[ \lvert (x - p + a) -a \rvert < \delta \tag{10} \] 이므로 (8)에 의하여 \[ \lvert f(x-p+a) - f(a) \rvert < \epsilon \] 즉

\[ \lvert f(x) - f(p) \rvert = \lvert f(x) - f(p) + f(a) - f(a) \rvert < \epsilon \tag{11} \]

을 얻는다. 따라서 (9)와 (11)에 의하여 \(f\)는 \(p\)에서 연속이다. \(p\)는 임의의 실수이므로 \(f\)는 연속함수이다. 그러므로 정리 1에 의하여 \(f\)는 선형사상이다.

Cauchy 함수방정식의 해 중에서는 연속이 아닌 것이 존재한다.

정리 3.  Cauchy 함수방정식의 비연속 해.

가법적인 실함수 중에 연속이 아닌 것이 존재한다. 즉 임의의 실수 \(x,\) \(y\)에 대하여 \[f(x+y) = f(x) + f(y)\] 를 만족시키지만 연속이 아닌 함수 \(f\)가 존재한다.

증명. \(\mathbb{R}\)를 \(\mathbb{Q}\) 위에서의 벡터공간으로 여기면 \(\mathbb{R}\)는 기저를 가진다. \(e_0 = 1 ,\) \(e_1 = \pi\)라고 하면 \(\left\{e_0 ,\, e_1 \right\}\)을 포함하는 기저 \(\left\{ e_i \,\vert\, i\in I \right\}\)가 존재한다. 각 \(i \in I\)에 대하여 함숫값 \(f(e_i )\)를 정하면 선형사상 \(f\)는 유일하게 결정된다. 여기서 \(f\)가 선형사상이라는 것은 \(\mathbb{Q}\) 위에서의 벡터공간 \(\mathbb{R}\)에서 선형이라는 의미이며, \(f(x) = cx\) 꼴의 함수라는 의미가 아니다.

\[f(e_0 ) := 1 ,\quad f(e_1 ) := 0\]

이라고 하자. 다른 \(e_i\)에 대해서 함숫값 \(f(e_i )\)가 어떻게 정의되었는지는 상관 없다. 임의의 실수 \(x,\) \(y\)에 대하여 \[ x = \sum_{i\in I} a_i e_i ,\quad y = \sum_{i\in I} b_i e_i \] 인 유리수 계수 \(a_i\)와 \(b_i\)가 유일하게 결정된다. 더욱이 \(a_i \neq 0,\) \(b_i \neq 0\)인 \(i\)의 개수는 유한이다. 따라서 \[ x+y = \sum_{i \in I} a_i e_i + \sum_{i \in I} b_i e_i = \sum_{i \in I} (a_i + b_i) e_i \] 이므로 \[f(x+y) = \sum_{i\in I} (a_i + b_i) f(e_i ) = f(x) + f(y)\] 가 성립한다. 즉 \(f\)는 Cauchy 함수 방정식의 해이다. 그런데 \[f(\pi) = 0 \neq \pi = \pi f(1)\] 이므로 \(f\)는 연속이 아니다.

만약 \(f\)가 가법적인 실함수이고 \(f(x) = cx\) 꼴이라면 \(c = f(1)\)이 되어야 한다. 그러므로 정리 3은 Cauchy 함수방정식의 해 중에서 \(f(x) = cx\) 꼴이 아닌 것이 존재함을 나타낸다.

정리 3의 증명 과정에서 임의의 벡터공간의 기저가 존재한다는 정리를 이용하였다. 이 정리는 선택 공리와 동치이므로, 정리 3은 선택 공리가 가정되었을 때 유효하다.

한편, Cauchy 함수방정식의 해 중에서 연속이 아닌 것의 그래프는 다음과 같은 독특한 성질을 가진다.

정리 4.  Cauchy 함수방정식의 비연속 해의 그래프.

\(f\)가 가법적인 실함수이고 연속이 아니면 \(f\)의 그래프는 \(\mathbb{R}^2\)에서 조밀하다.

증명. \(c := f(1)\)이라고 하자. 그러면 정리 1에 의하여 임의의 유리수 \(q\)에 대하여 \(f(q) = cq\)가 성립한다. 더욱이 \(q\)가 유리수이고 \(x\)가 실수이면 \(f(qx) = qf(x)\)가 성립한다. \(f\)가 연속이 아니므로 \(f(\alpha ) \neq c\alpha\)인 실수 \(\alpha\)가 존재한다.

\(x,\) \(y\)가 임의의 유리수이고 \(r\)가 양의 유리수라고 하자. 중심이 \((x,\,y)\)이고 반지름이 \(r\)인 열린 원판 \(B\)에 \(f\)의 그래프의 점이 속함을 보이자. \(n \rightarrow \infty\)일 때 \[\begin{eqnarray} a_n \,&\rightarrow&\, \alpha \\[8pt] b_n \,&\rightarrow&\, \frac{y-cx}{f(\alpha ) - c\alpha} \end{eqnarray}\] 인 유리수열 \(\left\{a_n\right\},\) \(\left\{b_n\right\}\)이 존재한다. \(n \to \infty\)일 때 \[ x + b_n (\alpha - a_n ) \,\rightarrow\, x\] 이고 \[\begin{align} f(x & +b_n (\alpha - a_n )) = cx + b_n f(\alpha) - b_n \cdot c a_n \\[8pt] &\rightarrow\, cx + \frac{y-cx}{f(\alpha) - c\alpha} \cdot f(\alpha ) - \frac{y-cx}{f(\alpha ) - c\alpha} \cdot c\alpha \\[8pt] &=\, cx + (y-cx) = y \end{align}\] 이다. 따라서, \(\xi_n := x+b_n (\alpha - a_n )\)일 때, 점 \((\xi_n ,\, f(\xi_n ))\)이 \(B\)에 속하도록 하는 자연수 \(n\)이 존재한다. 중심이 좌표와 반지름이 모두 유리수인 열린 원판들의 모임은 \(\mathbb{R}^2\)의 보통위상의 기저가 되므로 \(f\)의 그래프는 \(\mathbb{R}^2\)에서 조밀하다.

Darboux는 정리 2를 증명하고 5년 뒤인 1880년에 '연속함수'라는 조건을 '\(0\)에 충분히 가까운 임의의 양수 \(x\)에 대하여 \(f(x) \ge 0\)'으로 바꾸어도 동일한 결과를 얻음을 보였다. 여기서는 정리 4를 이용하여 더 일반적인 결과를 증명하겠다.

정리 5.  Cauchy 함수방정식의 유계 해.

\(f\)가 가법적인 실함수이고 길이가 양수인 구간 \(I\)에서 \(f\)가 위로 유계이거나 아래로 유계이면 \(f\)는 선형사상이다.

증명. \(f\)가 선형사상이 아니라면 정리 2에 의하여 \(f\)는 어느 점에서도 연속이 아니다. 그러면 정리 4에 의하여 \(f\)의 그래프는 \(\mathbb{R} ^2\)에서 조밀하다. 그런데 \(f\)가 \(I\)에서 위로 유계이거나 아래로 유계이면 \(f\)의 그래프는 \(\mathbb{R} ^2\)에서 조밀하지 않다. 이것은 모순이므로 \(f\)는 선형사상, 즉 \(f(x) = cx\) 꼴의 함수이다.

적분 가능성과 관련하여 Cauchy 함수방정식의 해를 다음과 같이 얻을 수 있다.

정리 6.  Cauchy 함수방정식의 가측 해.

\(\mathbb{R}\)에 양의 측도가 주어졌다고 하자. \(f\)가 가법적인 가측 실함수이면 \(f\)는 선형사상이다. 특히 \(f\)가 가법적인 실함수이고 유계인 구간에서 Lebesgue 적분 가능하면 \(f\)는 선형사상이다.

증명. \(f\)가 가측함수라고 하자. 그리고 \(U\)가 \(0\)의 열린 근방이라고 하자. 그러면 \(U\)의 열린 부분집합 \(V\)가 존재하여 \(V - V \subseteq U\)를 만족시킨다. \(\left\{r_n \right\}\)이 모든 유리수를 항으로 갖는 수열일 때

\[\mathbb{R} = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} ( r_n +V )\] 이므로 \[\mathbb{R} = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} f^{-1} (r_n +V) =: \bigcup_{n\in\mathbb{N}} W_n\]

이다. \(f\)가 가측이므로 \(W_n\)도 가측이며, \(\mathbb{R}\)가 양의 측도를 가지므로 \(W_n\) 중 하나 이상은 양의 측도를 가진다. 그러므로 적당한 \(n\)에 대하여 \(W_n - W_n\)은 \(0\)의 근방이다. 그런데 \(f\)가 가법적이므로 (1)에 의하여 \(f\)는 준동형사상이며 \[W_n - W_n \subseteq f^{-1} (V-V) \subseteq f^{-1}(U)\] 이다. 즉 \(f^{-1} (U)\)는 \(0\)의 근방이다. 따라서 \(f\)는 \(0\)에서 연속이다.

\(f\)가 연속인 점이 존재하므로 정리 2에 의하여 \(f\)는 \(f(x) = cx\) 꼴의 함수이다. Lebesgue 적분 가능한 함수는 가측 함수이므로 정리의 두 번째 내용은 지금까지의 증명 과정으로부터 자명하게 얻어진다.

위 정리에서 Lebesgue 적분을 Riemann 적분으로 바꾸면 더 쉬운 증명을 얻을 수 있다. 즉 \(f\)가 가법적인 실함수이고 임의의 닫힌 유계 구간에서 Riemann 적분 가능하다고 하자. 그러면 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \[\begin{align} f(x) &= f(x)+0 \\[8pt] &= \int_{0}^{1} f(x) dt + \int_{0}^{1} (f(t) - f(t)) dt \\[6pt] &= \int_{0}^{1} (f(x) + f(t)) dt - \int_{0}^{1} f(t) dt \\[6pt] &= \int_{0}^{1} (f(x+t)) dt - \int_{0}^{1} f(t) dt \\[6pt] &= \int_{x}^{x+1} f(t) dt - \int_{0}^{1} f(t) dt \\[6pt] &=: \int_{x}^{x+1} f(t) dt - C \end{align}\] 이다. 여기서 \(f\)는 적분 가능한 함수이므로 마지막 식은 \(x\)에 대하여 연속이다. 즉 \(f\)는 연속함수이다. 그러므로 정리 1에 의하여 \(f\)는 \(f(x) = cx\) 꼴의 함수이다.

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