p-노름과 상한 노름의 관계

By | Februar 9, 2015

유클리드 공간 \(\mathbb{R} ^n\)이 전체공간이라고 하자. \(B\)가 체적이 양수인 닫힌 상자이고 \(f\)가 \(B\)에서 정의된 연속인 실함수라고 하자. (여기서 \(B\)가 닫힌 상자라는 것은 닫힌구간들의 카르테시안 곱으로 나타난다는 의미이다.) 이때 \(B\)에서 \(f\)의 \(p\)-노름과 상한 노름을 다음과 같이 정의한다. (단, \(p \ge 1 \)) \[ \Vert f \Vert _p ~:=~ \left(\int_B |f( \mathrm{x} )|^p ~ d\mathrm{x} \right)^{1/p} \] \[ \Vert f \Vert _{\infty} ~:=~ \sup \left\{ |f( \mathrm{x} )| ~|~ \mathrm{x} \in B \right\} \] \(f\)가 연속함수이므로 상한은 최댓값으로 바꾸어도 된다. 즉 \[ \Vert f \Vert _{\infty} ~:=~ \max \left\{ |f( \mathrm{x} )| ~|~ \mathrm{x} \in B \right\} \] 이다. 여기서 상한노름의 아래첨자가 \(\infty\)인 이유는 다음과 같다.

정리 1. 체적이 양수인 닫힌 상자 \(B\)에서 정의된 연속실함수 \(f\)에 대하여 다음 등식이 성립한다. \[\lim_{p\to\infty} \left( \int_{B} \left| f(\mathrm{x} ) \right| ^p ~d \mathrm{x} \right) ^{1/p} = \max \left\{ | f( \mathrm{x} )| ~|~ \mathrm{x} \in B \right\} \tag{1} \]

증명. \(B\)에서 \(f=0\)인 경우는 (1)이 자명하게 성립한다. 따라서 \(B\)에서 \(f \ne 0\)인 경우만 증명하자. (즉, \(\exists \mathrm{x} \in B :~ f( \mathrm{x} ) \ne 0\)인 경우만 증명한다.) 설명이 끝날 때까지 \(p\)는 양수를 나타내는 것으로 약속한다.

\(f\)가 \(B\)에서 연속이므로 \(|f|\)도 \(B\)에서 연속이고, 따라서 \(|f|\)는 \(B\)에서 최댓값을 가진다. \[M := \max \left\{ |f( \mathrm{x} )| ~|~ \mathrm{x} \in B \right\} \] 라고 하자. 그러면 다음이 성립한다. \[\int_B |f( \mathrm{x} )|^p ~d \mathrm{x} ~\le~ \int_B M^p ~ d \mathrm{x} = M^p ~ \mathrm{v o l} (B) \tag{2} \] 다음으로 양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. 단, \(\epsilon < M \)이라고 해도 일반성을 잃지 않는다. \(M\)이 \(B\)에서 \(|f|\)의 최댓값이므로 \(|f| (\xi ) = M \)인 \(\xi \in B\)가 존재한다. \(|f|\)가 연속함수이므로 열린 구간의 역상 \[I = |f|^{-1} (( M - \epsilon ,~ M + \epsilon )) \] 은 \(B\)에서의 상대적 열린 집합이다. 따라서 \(I\)는 \(\xi\)의 열린 근방이고 \[\forall \mathrm{x} \in I :~ |f(\mathrm{x} )| > M - \epsilon \] 이 성립한다. 그러므로 \(I\)의 부분집합으로서 체적이 양수인 닫힌 상자 \(J\)가 존재하여 \[\forall \mathrm{x} \in J :~ |f(\mathrm{x} )| > M - \epsilon \] 이 성립한다. 이 부등식을 이용하면 \[\begin{eqnarray} (M - \epsilon )^p ~ \mathrm{vol} (J) &=& \int_{J} (M - \epsilon )^p ~ d \mathrm{x} \\ & \le & \int_J | f( \mathrm{x} )|^p ~ d \mathrm{x} \\ & \le & \int_B | f( \mathrm{x} )|^p ~ d \mathrm{x} \tag{3} \end{eqnarray} \] 을 얻는다. 이제 (2)와 (3)을 결합하면 \[(M - \epsilon )^p ~ \mathrm{vol}(J) \le \int_B | f( \mathrm{x} )|^p ~ d\mathrm{x} \le M^p ~ \mathrm{vol} (B) \tag{4} \] 이고, (4)의 각 식의 \(p\)제곱근을 취하면 \[(M- \epsilon )(\mathrm{vol} (J))^{1/p} \le \left( \int_B |f( \mathrm{x} )|^p ~d\mathrm{x} \right)^{1/p} \le M ( \mathrm{vol} (B)) ^{1/p} \tag{5} \] 을 얻는다. \(\mathrm{vol} (J) \)와 \(\mathrm{vol} (B) \)는 각각 양수이므로, (5)에 \(p \to \infty\)인 극한을 취하면 \[M - \epsilon \le \lim_{p\to\infty} \left( \int_B | f( \mathrm{x} )|^p ~ d\mathrm{x} \right)^{1/p} \le M \tag{6} \] 을 얻는다. 여기서 \(\epsilon\)은 \(0\)에 임의로 가까워질 수 있는 양수이므로 (6)에 \(\epsilon \to 0+\)인 극한을 취하면 (1)을 얻는다.

이 정리는 일반화될 수 있다. \((X,~M,~\mu )\)가 측도공간이고 \(f:X \to \mathbb{R}\)가 주어졌다고 하자. 이때 \(X\)에서 \(f\)의 \(p\)-노름과 상한 노름은 다음과 같이 정의된다. (단, \(p \ge 1\)) \[ \Vert f \Vert _p ~:=~ \left(\int_X |f|^p ~ d \mu \right)^{1/p} \] \[ \Vert f \Vert _{\infty} ~:=~ \sup \left\{ |f( x )| ~|~ x \in X \right\} \] 이때 \(p\)-노름과 상한 노름은 다음과 같은 관계가 있다.

정리 2. \((X,~M,~\mu )\)가 측도공간이고 \(f\)가 \(X\)에서 정의된 실함수이며 \(f \in L^{\infty}\)이고 적당한 \(q\ge 1 \)에 대하여 \(f \in L^q \)라고 하자. 그러면 다음이 성립한다. \[\lim_{p\to\infty} \Vert f \Vert _p = \Vert f \Vert _{\infty} .\tag{7} \]

증명. \(0 < \delta < \Vert f \Vert _{\infty} \)인 \(\delta\)가 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 \[S_{\delta} := \left\{ x ~|~ |f(x)| \ge \Vert f \Vert _{\infty} - \delta \right\}\] 라고 하자. 그러면 \(\mu \left( S_{\delta} \right) \)는 양의 실수이므로 \[\Vert f \Vert _p \ge \left( \int_{S_{\delta}} \left( \Vert f \Vert _{\infty} - \delta \right) ^p ~ d \mu \right)^{1/p} = \left( \Vert f \Vert _{\infty} - \delta \right) ~\mu \left( S_{\delta} \right)^{1/p} \] 가 성립한다. 즉 \[\varliminf_{p\to\infty} \Vert f \Vert _p \ge \Vert f \Vert _{\infty} \tag{8} \] 가 성립한다. 이제 부등식이 반대로 성립함을 보이자. 거의 모든 점 \(x\)에서 \[| f(x) | \le \Vert f \Vert _{\infty} \]이므로 \(p > q > 0 \)일 때 \[ \Vert f \Vert _p \le \left( \int_X |f(x)|^{p-q} ~|f(x)|^q ~ d \mu \right)^{1/p} \le \Vert f \Vert_{\infty} ^{\frac{p-q}{p}} ~ \Vert f \Vert _{\infty}^{\frac{q}{p}} \] 를 얻는다. 여기에 \(p\to\infty\)인 극한을 취하면 \[\lim_{p\to\infty} \Vert f \Vert _p \le \Vert f \Vert _{\infty} ^1 \cdot 1 = \Vert f \Vert_{\infty} \tag{9} \] 를 얻는다. (8)과 (9)를 결합하면 (7)을 얻는다.

참고. 정리 2는 정리 1보다 일반화된 것이다. 그럼에도 불구하고 정리 2의 증명이 정리 1의 증명보다 짧은 이유는 횔더의 부등식 같은 르베그 적분의 성질을 사용했기 때문이다.

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