Tag Archives: Analysis

평등수렴하는 함수열의 합성함수열은 평등수렴할까?

평등수렴하는 함수열의 합성함수열은 평등수렴할까? 즉 \(\left\{ f_n \right\},\) \(\left\{ g_n \right\}\)이 각각 평등수렴할 때 합성함수열 \(\left\{ f_n \circ g_n \right\} \)은 평등수렴할까? 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어 \( f_n (x) = \begin{cases} 1~~ &\mbox{if} ~~ x \in \mathbb{Q} \\ \\ 0~~ &\mbox{if} ~~ x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{cases} \)그리고\(g_n (x) = \frac{\pi + (-1)^n \pi}{n}\)라고 하면 명백히… Read More »

무한급수를 활용하여 적분을 계산하는 예

다음 적분의 값을 구해보자. 위 특이적분이 수렴한다는 사실은 쉽게 증명된다. 위 적분을 변형하면 다음과 같다. 여기서 마지막 두 특이적분이 수렴한다는 사실도 쉽게 증명된다. 따라서 위 등식이 성립함이 보장된다. 이제 다음과 같은 자연로그의 거듭제곱급수표현을 이용하여 문제의 적분을 계산하자. 먼저 A를 계산하면 다음과 같다. 다음으로 B를 계산하면 다음과 같다. (참고로 A, B의 값을 계산하는 과정에서 거듭제곱급수의 평등수렴에 관한 Abel의 정리를… Read More »

The evaluation of ∑(sin(n))/n.

I already have proven that the following series converges. \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n}\) In this post, I will show that \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n} = \frac{\pi -1}{2}\) Lemma 1. The following equations hold: \( (1)~~ \sum_{k=1}^{n}\sin k x = \frac{\cos\frac{x}{2} - \cos\left( n + \frac{1}{2} \right) x}{2\sin \frac{x}{2}}\) \( (2)~~ \sum_{k=1}^{n}\cos k x = \frac{\sin\left( n+ \frac{1}{2} \right) x - \sin \frac{x}{2}}{2\sin… Read More »

수열 {sin(n)}의 상극한이 1임을 기하학적 방법으로 증명하기

수열 \(\left\{ \sin n \right\}\)의 상극한이 1임을 증명하는 방법은 여러 가지가 있고, 그중 많은 방법이 정수론의 정리를 사용한다. 여기서는 정수론의 방법을 사용하지 않고 기하학적인 방법을 사용하여 \(\left\{ \sin n \right\}\)의 상극한이 1임을 증명한다. 또한 증명의 결과로서 닫힌구간 \([-1,~1]\)의 모든 점이 \(\left\{ \sin n \right\}\)의 집적점이 된다는 결론을 얻는다. 보조정리 1. \(n\)이 자연수일 때 \(n ~ \mapsto ~ \sin… Read More »

Convergence of the series ∑(sin(n))/n.

The following series converges. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n} \) To prove this fact, we first consider an identity: \( \sin (n x) = \frac{\cos\left( n - \frac{1}{2} \right) x - \cos \left( n + \frac{1}{2} \right) x }{ 2 \sin \frac{x}{2}} \) Substituting \(x\) by \(1\) and taking summation, we have \( \begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} \sin k &=& \sum_{k=1}^{n}… Read More »

해석학 강의노트

이 노트는 학부 수준과 대학원 기초 수준의 해석학 내용을 담고 있습니다. 기초해석학, 다변수 해석학, 복소해석학, 실해석학, 함수해석학의 내용을 과목별로 간단하게 정리하였습니다. 대중적으로 사용되는 해석학 교재와 온라인에서 구할 수 있는 강의노트를 참고하여 작성하였으며, 참고한 자료의 목록은 각 과목 노트 끝에 첨부하였습니다.

함수해석학 강의 노트

이 노트는 기초 해석학, 다변수 해석학, 복소해석학, 측도론, 선형대수학, 추상대수학, 위상수학의 내용에 이어지는 것으로서, 함수해석학의 기본적인 내용을 간략히 다루고 있습니다. LN_FunctionalAnalysis_20111106.pdfPDF, A4, 21쪽, 2011년 11월 6일 최종수정 내용 순서 내적공간과 노름공간 부분공간과 상공간 Hilbert 공간의 기본 성질 선형작용소 Hahn-Banach의 정리 쌍대공간 여러 가지 쌍대공간 Baire의 범주 정리 열린사상 정리 균등유계 원리 닫힌치역 정리 약위상 범약위상 Hilbert-Schimidt 작용소 긴밀… Read More »

측도와 적분 강의 노트

측도와 적분의 내용을 요약 정리한 자료입니다. LN_MeasureIntegral_20111106.pdfPDF, A4, 20쪽, 2011년 11월 6일 최종수정 내용 순서 넓이와 측도 Caratheodory의 정리 Borel 측도 가측함수 음아닌 함수의 적분 지배수렴 정리 Riemann 적분 수렴 정리 곱측도공간 유클리드 공간에서의 Lebesgue 측도 함수의 미분 가부호 측도 Lebesgue-Radon-Nikodym 정리 유클리드 공간에서의 미분 Lp 공간 쌍대공간 분포 함수 선형변환

복소해석학 강의 노트

복소해석학의 내용을 요약 정리한 자료입니다. LN_ComplexAnalysis_20111017.pdfPDF, A4, 20쪽, 2011년 10월 17일 최종수정 내용 순서 복소수 체계 복소함수의 미분 기본 함수 등각사상 Cauchy-Riemann 방정식 일차분수변환 복소함수의 적분 원판에서의 Cauchy 정리 단순연결영역에서의 Cauchy의 정리 Cauchy 적분 공식 Cauchy 적분 공식의 응용 특이점 Laurent 급수 유수 적분 편각 원리 해석적 함수의 성질 Riemann 사상 정리 조화함수 Dirichlet 문제의 해 반사원리

다변수 해석학 강의 노트

다변수 해석학과 벡터 해석학의 내용을 요약 정리한 자료입니다. LN_MultiVarAnalysis_20111012.pdfPDF, A4, 40쪽, 2011년 10월 12일 최종수정 내용 순서 Euclid 벡터공간 Euclid 거리공간 수열의 극한 긴밀 집합 함수의 극한 연속함수 연결집합 선형변환 미분의 개념 미분의 성질 고계도함수 Taylor의 정리 함수급수의 미분 음함수 정리와 역함수 정리 차수 정리 Lagrange 승수 곡선과 곡면 중적분 중적분의 성질 반복적분 중적분의 변수변환 벡터장의 개념 선적분… Read More »