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기초 해석학 강의 노트

기초 해석학의 내용을 요약 정리한 자료입니다. LectureNote_BasicAnalysis_20111006.pdfPDF, A4, 30쪽, 2011년 10월 6일 최종수정 내용 순서 순서체의 성질 실수계의 완비성 정수와 유리수 열린집합과 닫힌집합 수열의 극한 발산하는 수열 Cauchy 수열 함수의 극한 연속함수 실함수의 미분 평균값 정리 Riemann 적분 미적분의 기본정리 특이적분 무한급수 무한급수의 성질 함수열의 균등수렴 균등수렴의 판정 거듭제곱급수(멱급수) 해석적 함수

면적분 (Surface Integral)

면적분(surface integral)은 곡면 위에서 벡터장을 적분하는 것을 의미합니다. 중적분과 비교해서 생각해봅시다. 이중적분은 구부러지지 않은 평면의 부분조각에서 함수를 적분하는 것입니다. 면적분은 평면뿐만 아니라 구부러진 채로 공간에 떠있는 면 위에서 적분을 하는 것입니다. 3차원 공간에 벡터장이 정의되어 있다고 생각해 봅시다. 예컨대 중력장이나 자기장 등을 생각할 수 있습니다. 그리고 그 3차원 공간에 면조각이 떠 있다고 합시다. 그러면 그 면조각 위의 각… Read More »

선적분 (Line Integral)

고등학교에서 배우는 적분은 함수 \(f\)가 실직선 \(\mathbb{R}\) 위에서 정의되어 있을 때, \(\mathbb{R}\)의 부분구간 \([a,~b]\)에서 \(f\)를 적분하는 것입니다. 한편 정의역이 \(\mathbb{R} ^2 \)이거나 \(\mathbb{R} ^3 \)인 함수도 적분할 수 있습니다. 그러한 함수를 적분하는 것은 중적분, 선적분, 면적분 등이 있는데 여기서는 선적분에 대하여 설명하고자 합니다. 함수 \(f\)가 \(\mathbb{R} ^3\)에서 정의되었다고 합시다. 그리고 \(\mathbb{R} ^3 \)에 매끄러운 곡선 \(C\)가 있다고 합시다.… Read More »

Wallis Product로부터 Stirling’s Formula 유도하기

Stirling의 공식은 \(n\)이 대단히 클 때 \(n!\) 또는 \(n^n \)의 값을 가늠하는 공식이다. 즉 \( n! ~\sim~ \sqrt{2 \pi} n^n \sqrt{n} e^{-n}\)이다. 여기서 \(\sim\)은 양쪽의 식의 비의 극한이 \(1\)임을 의미한다. 즉 \( \lim_{n\to \infty} \frac{n! e^{n} }{\sqrt{2 \pi} n^n \sqrt{n} } =1 \)이 성립한다는 것을 의미한다. 이 극한은 보통 \(\lim_{n\to \infty} \frac{n! e^{n} }{n^n \sqrt{n} } = \sqrt{2… Read More »

다니엘 적분

Daniell_Integral.pdf 다니엘 적분은 르베그 적분의 개념을 일반화한 것으로서 측도를 도입하지 않고 작용소로서 적분을 정의한 것이다. 이 문서에서는 다니엘 적분의 정의와 기본 성질을 소개한다. 도입 확장 정리 유일성 가측성과 측도

해석학 전공서적 리뷰

해석학 전공서적 리뷰 A GENTLE REVIEW OF THE TEXTBOOKS ON ANALYSIS Anne ShirleyApril 10, 2010(Modified on Feb 3, 2014)Department of Mathematics Education 수학을 공부하는 학생들에게 도움을 주기 위하여 지금까지 보았던 해석학 전공서적들의 리뷰를 작성해 보았습니다. 여기서의 평가가 절대적인 것은 아니며 보는 사람의 관점에 따라 달라질 수 있습니다. 총 46권이며 저자의 이름순으로 정렬되어 있습니다. 모두 직접 작성한 것이므로 다른… Read More »

Proof of sup(1/A) = 1/inf(A)

Theorem. Suppose \(A\) be a nonempty subset of \(\mathbb{R}\) and bounded below. Suppose further that the greatest lower bound of \(A\) is positive. Show that \( \sup B = \frac{1}{\inf A} \) where \(B = \left\{ 1/x ~|~ x\in A \right\} .\) Proof. Let \(\alpha = \inf (A) ,\) \(\beta = \frac{1}{\alpha} .\) We first have to show… Read More »

Integration of (x-1) / ln(x) on [0, 1]

In this post, we will discuss the evaluation of the following improper integral. \(\int_{0}^{1} \frac{x-1}{\ln x} dx \) First, we examine two sequences. Define \(u_n\) as \(u_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}} .\) Then \(u_n\) is the Riemann-Darboux sum of the integral: \( \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx .\) Thus we have \( \lim_{n\to \infty} u_n ~=~ \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx ~=~… Read More »