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함자와 자연변환

MacLane과 Saunders는 저서 『Categories for the working mathematician』에서 다음과 같이 말하였다. (Wikipedia에서 재인용) “범주(category)를 정의한 이유는 함자(functor)를 정의하기 위해서이고, 함자를 정의한 이유는 자연 변환(natural transformation)을 정의하기 위해서이다.”   즉 함자와 자연변환은 범주 이론의 주축을 이루는 중요한 개념이다. 이 포스팅에서는 함자와 자연변환의 개념을 살펴본다. 함자 직관적으로 표현하면, 함자는 두 범주 사이의 사상이다. \(\mathcal{C} = (O,\,M)\)과 \(\mathcal{C} ' = (O… Read More »

범주 이론의 세 가지 접근 방법

'군의 범주'는 대상이 모든 군이고 사상이 모든 군준동형사상인 범주이다. 그런데 모든 군의 모임은 집합이 아닌 고유클래스이다. 심지어는 단원군들의 모임조차 집합이 아닌 고유클래스이다. [단원군은 원소가 하나인 군을 뜻한다. 단원군을 자명한 군이라고 부르기도 한다.] 즉 범주 이론에서 다루는 모임은 고유클래스인 경우가 많으므로 범주 이론을 다룰 때에는 조심스러운 접근이 필요하다. 고유 클래스로 이루어진 범주의 대표적인 예는 다음과 같은 것들이 있다. \(\mathbb{Set}\)은… Read More »

범주 이론의 개념

수학 이론의 근간을 어디에 두느냐에 따라서 수학의 이론을 전개하는 방식이 달라진다. 수학 이론의 근간을 집합에 두면 순서쌍이나 함수는 특정한 조건을 만족시키는 집합으로 정의된다. 각각의 자연수 또한 집합이며, 정수, 유리수, 실수, 복소수와 같은 수의 개념들 모두 집합으로 정의된다. 마찬가지로 군(group)도 집합으로 정의된다. 즉 군은 첫 번째 좌표가 \(G\)의 원소이고 두 번째 좌표가 \(G\times G\)로부터 \(G\)로의 함수인 순서쌍들의 집합이다. 수학… Read More »

일계논리와 범주

수학의 분야 중에서는 일계논리만으로 그 분야를 논하기에 충분한 경우가 있고, 그렇지 않은 경우도 있다. 예컨대 군론(group theory)은 일계논리만으로 다룰 수 있지만 위상수학은 일계논리만으로는 직접 다룰 수 없다. 그렇다면 자연스럽게 다음과 같은 의문이 생긴다. 어떤 구조가 일계논리의 문장으로 다루어지기에 충분한가? 이를 논하기 위해 몇 가지 개념을 도입해야 한다. 두 \(\mathcal{L}\)-구조 \(M\)과 \(N\) 사이의 동형사상(isomorphism)이라 함은 다음 조건을 만족시키는 일대일대응… Read More »