Tag Archives: Continuous Function

일반화된 Cauchy 극한 문제의 풀이

보통 'Cauchy의 문제'라고 하면 편미분방정식의 해에 관한 문제를 가리킨다. 하지만 Cauchy의 이름을 딴 다음과 같은 또 다른 문제가 있다. Cauchy 극한 문제 \(L\)이 실수이고 함수 \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\)가 \(\lim_{n\rightarrow\infty} (f(n+1) - f(n)) = L\) 을 만족시킬 때 \(\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(n)}{n} = L\) 이 성립함을 증명하여라. 이 문제는 William R. Wade 교수님의 책 An Introduction to Analysis 4판에… Read More »

일변수 함수의 적분을 중적분으로 바꾸어 푸는 예

보조정리. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 연속함수이고 \(x\)가 실수일 때 다음 등식이 성립한다. \(\int_0^x f(u) (x-u) \, du = \int_0 ^x \int_0 ^u f(t) \, dt \, du .\) 증명. \(f\)의 한 부정적분을 \(F\)라고 하자. 그러면 부분적분법에 의하여 다음 등식이 성립한다. \(\int_0^x F(u) \, du = F(u)u \bigg{|} _0 ^x - \int_0^x f(u)u \, du = F(x)x -… Read More »