Tag Archives: Hilbert Space

Hilbert 공간에서의 스펙트럼

이 글에서는 Hilbert 공간에서의 자기수반 작용소의 스펙트럼에 대하여 살펴보자. 먼저 자기수반 작용소가 실스펙트럼을 가짐을 보이자. 보조정리 1. \(H\)가 Hilbert 공간이고 \(T \in B(H)\)가 자기수반 작용소이면 \(\sigma (T) \subseteq \mathbb{R}\)이다. 증명. \(\lvert \langle ( \lambda 1-T) x,\,x \rangle \rvert \ge \lvert \mathrm{Im} \langle ( \lambda 1-T )x ,\,x \rangle \rvert = \lvert \mathrm{Im} \lambda \rvert \lVert x \rVert ^2… Read More »

자기수반 긴밀작용소의 스펙트럼

이 글에서 \(X\)는 완비인 Hilbert 공간을 나타내는 것으로 약속한다. \(T : X \to X\)가 유계선형범함수이면 \(X\)와 \(X^*\) 사이의 Riesz 동형성을 통해 \(T^*\)를 \(X\)로부터 \(X\)로의 사상으로 여길 수 있다. 즉 \(T^*\)가 \(\langle T^* x ,\,y \rangle = \langle x ,\, Ty \rangle\) 로 정의된 것으로 생각할 수 있다. 유한 차원 복소 Hilbert 공간의 경우 \(T\)는 복소사각행렬로 표현될 수 있으며… Read More »

쌍대공간

정의역이 벡터공간이고 공역이 체인 함수를 범함수(functional)라고 부른다. 또한 정의역이 노름선형공간 \(X\)인 범함수들의 모임 \(B(X,\,\mathbb{F})\)를 \(X\)의 쌍대공간(dual space)이라고 부르며 \(X^*\)로 나타낸다. \(X\)의 쌍대공간의 쌍대공간을 제 2 쌍대공간이라고 부르며 \(X^{**}\)로 나타낸다. \(X\)와 \(Y\)가 노름선형공간이고 \(T\)가 \(X\)로부터 \(Y\)로의 함수라고 하자. 이때 임의의 \(f \in Y^*\)와 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(T^* f(x) := f(Tx) \) 로 대응시키는 함수 \(T^* : Y^* \,\to\,… Read More »

Hilbert 공간의 기본 성질

Hilbert 공간의 중요한 성질 중 하나는 \(K\)가 닫힌볼록집합이고 \(x\)가 \(K\) 밖의 점일 때, \(x\)와 가장 가까운 \(K\)의 점이 존재한다는 것이다. 정리 1. (사영 정리) \(X\)가 Hilbert 공간이고 \(K\)가 \(X\)의 닫힌 볼록부분집합이며 \(x\in X\)라고 하자. 그러면 \(\left\lVert x- \overline{x} \right\rVert = \inf_{y\in K} \lVert x-y \rVert \) 를 만족시키는 \(\overline{x} \in K\)가 유일하게 존재한다. 증명. 일반성을 잃지 않고 \(x=0\)이라고… Read More »

부분공간과 상공간

함수해석학에서 주로 다루는 공간은 벡터공간이므로 부분공간과 상공간 또한 함수해석학에서 빼놓을 수 없는 중요한 주제이다. \(X\)가 벡터공간이고 \(S\)가 \(X\)의 부분공간일 때 상공간 \(X/S\)는 잉여류들의 모임이다. \(X\)가 노름공간이면 \(X/S\)에서의 반노름을 \(\lVert u \rVert _ {X/S} := \inf_{x \in u} \lVert x \rVert_X \) 또는 동등조건으로서 \(\lVert \overline{x} \rVert _{X/S} := \inf _{s\in S} \lVert x-s \rVert _X \) 로 정의한다.… Read More »

내적공간과 노름공간

함수해석학은 벡터공간의 해석적 성질과 벡터공간 사이의 선형작용소에 대하여 연구하는 수학의 분야이다. 따라서 내적공간과 노름공간의 개념은 함수해석학을 공부하는 데에 필수적인 기초 내용이다. 정의 1. \(X\)가 체 \(\mathbb{F}\) 위에서의 벡터공간이라고 하자. 함수 \(p : X \to [ 0,\, \infty ) \)가 두 조건 (1) \((\forall x \in X)(\forall y \in X)\)\((p(x+y) \le p(x) + p(y))\) (2) \((\forall x \in X)(\forall… Read More »