Tag Archives: Löwenheim-Skolem

집합의 기수

유한집합의 크기는 원소의 개수로 나타낼 수 있다. 하지만 무한집합의 크기는 자연수로 나타낼 수 없다. 대신 '원소의 개수'라는 개념을 확장하여 '기수'를 사용할 수 있다. 기수를 정의하는 방법은 '기수 공리'를 이용하는 공리적 방법과 서수로부터 기수를 정의하는 '구성적 방법'이 있다. 여기서는 구성적 방법을 살펴보자. 1. 기수의 정의 먼저 서수를 이용하여 기수를 정의한다. 정의 1.  집합의 기수. \(\alpha\)가 서수이고 \(\alpha\)의 임의의 절단(section)이… Read More »

일계논리의 긴밀성과 Löwenheim-Skolem 정리

긴밀성 정리와 Löwenheim-Skolem 정리는 일계논리에서 핵심적인 역할을 하는 정리이다. 이들 두 정리는 모두 Gödel의 불완전성 정리로부터 나온다. 여기서는 Gödel의 불완전성 정리를 도입하는 대신 긴밀성 정리와 Löwenheim-Skolem 정리의 증명을 간략하게 살펴보기로 한다. 또한 이 글에서는 일계논리언어가 가산인 경우로 논의를 한정한다. 정리 1.  일계논리의 긴밀성. \(\varSigma\)가 가산인 일계논리언어의 문장의 모임이고 \(\varSigma\)의 임의의 유한부분집합이 모델을 가지면 \(\varSigma\)도 모델을 가진다. 증명. 완전성… Read More »