Tag Archives: Set Theory

집합과 클래스

직관적 집합론에서는 집합을 '조건을 만족시키는 대상들의 모임'과 같이 직관적으로 정의하며, 이러한 집합론에서는 Russell의 역리와 같은 여러 가지 문제가 발생한다. 이러한 이유 때문에 공리적 집합론에서는 집합을 직관적으로 정의하지 않고 일련의 공리를 이용하여 집합을 규정한다. 공리적 집합론에서는 '모든 집합의 집합'과 같은 것은 존재하지 않는다. 하지만 '모든 집합의 모임'에 대해서는 논할 수 있다. 즉 '집합'과 '모임'은 다른 개념이 되는데, '모임' 중에서… Read More »

ZFC 집합론의 Skolem 역리

집합론을 공리적으로 연구하기 위해 사용할 수 있는 집합론 공리 체계는 여러 가지가 있다. ZFC가 그 대표적인 공리 체계이다. 수학자는 이러한 공리 체계 중에서 자신이 원하는 것을 하나 택하여 정착할 수 있다. 하지만 집합론의 공리 체계 중 하나에 정착한다 하더라도 그것이 집합론을 건설하기에 충분한지에 대해서는 항상 의문으로 남을 수밖에 없다. 예컨대 ZFC 공리계에서는 연속체 가설을 풀 수 없다. 설령… Read More »

도달 불가능한 기수

기수 \(\alpha\)가 다음 세 조건을 모두 만족시킬 때 '\(\alpha\)는 도달 불가능하다(inaccessible)'라고 말한다. (a) \(\alpha > \aleph_{0}\), (b) \(\lambda < \alpha\)인 임의의 기수 \(\lambda\)에 대하여 \(2^{\lambda} < \alpha \), (c) \(\alpha\)보다 작은 기수들을 \(\alpha\)보다 적은 개수만큼 합집합하면 \(\alpha\)보다 작다. '도달 불가능하다'라는 용어는 영어의 'inaccessible'을 일본어로 번역하고 그것을 다시 한국어로 번역한 것이다. 마음 같아선 '\(\alpha\)는 닿을 수 없다'라는 표현을 쓰고… Read More »

집합의 기수

유한집합의 크기는 원소의 개수로 나타낼 수 있다. 하지만 무한집합의 크기는 자연수로 나타낼 수 없다. 대신 '원소의 개수'라는 개념을 확장하여 '기수'를 사용할 수 있다. 기수를 정의하는 방법은 '기수 공리'를 이용하는 공리적 방법과 서수로부터 기수를 정의하는 '구성적 방법'이 있다. 여기서는 구성적 방법을 살펴보자. 1. 기수의 정의 먼저 서수를 이용하여 기수를 정의한다. 정의 1.  집합의 기수. \(\alpha\)가 서수이고 \(\alpha\)의 임의의 절단(section)이… Read More »

집합위계

20세기 초 직관적 집합론의 역리들을 제거하기 위하여 수학자들의 다양한 시도가 있었다. 그 중 Zermelo는 집합위계(hierarchy)를 이용하여 집합론의 역리들을 피하고자 하였다. Zermelo의 아이디어는 집합에 계층을 대응시키되, 계층들의 집합이 정렬집합이 되도록 하는 것이다. 만약 각 계층에서 Russell 집합(자기 자신의 원소가 되는 집합)이 나타나지 않는다면 Russell의 역리를 피할 수 있게 된다. 서수를 이용하여 각 계층(stage)에 이름붙임으로써 계층들이 정렬되도록 하자. 계층이 \(\alpha\)인… Read More »

집합의 서수

집합의 기수(cardinal number)는 집합의 크기를 나타내는 값이고, 집합의 서수(ordinal number)는 집합이 가진 순서의 구조를 나타내는 값이다. (서수를 순서수라고 부르기도 한다.) 서수를 정의하는 방법은 '서수 공리'를 도입하는 공리적 방법과 집합으로 서수를 정의하는 구성적 방법이 있다. 여기서는 구성적 방법을 살펴보자. 1. 서수의 정의 서수가 모든 순서집합의 구조를 나타내지는 않는다. 서수는 순서집합 중에서도 정렬집합의 구조만 나타낸다. 따라서 서수를 정의하기 전에 정렬집합을… Read More »

집합론의 선택 공리

선택 공리는 Zermelo-Fraenkel 집합론의 공리 중에서 가장 논란이 많았던 공리이다. 공리적 집합론이 발달하기 시작한 20세기 초에는 선택 공리를 다른 공리로부터 증명하기 위하여 많은 수학자들이 노력하였으나, 이후 선택 공리는 ZF와는 독립적임이 밝혀졌다. 오늘날 선택 공리는 수학의 여러 분야에서 필수적인 것으로 받아들여지고 있다. 이 포스팅에서는 선택 공리와 동치인 정렬 원리와 Zorn의 보조 정리를 살펴본다. 먼저 선택 공리는 다음과 같은 공리이다.… Read More »

집합론의 ZFC 공리

집합에 관한 모든 문장은 원소 관계를 이용하여 나타낼 수 있다. 그러므로 집합론의 공리에서 사용되는 일계논리언어는 하나의 이항관계를 가진다. 일계논리언어를 이용하여 집합론의 공리를 논할 때 관계기호 \(R\)에 대하여 \((x,\,y) \in R\)로 나타내는 대신 \(x\in y\)로 나타내자. 집합론의 Zermelo-Fraenkel 공리는 다음과 같은 열 개의 공리로 이루어져 있다. 확장 공리 (Extension Axiom) 두 집합이 동일한 원소를 가지고 있으면 두 집합은 서로… Read More »

실수 집합이 비가산임을 증명하는 두 가지 방법

\(E\)가 집합이고 \(E\)로부터 \(\mathbb{N}\)에로의 일대일 함수가 존재할 때 \(E\)를 가산집합(countable set)이라고 부른다. 또한 가산집합이 아닌 집합을 비가산집합(uncountable set)이라고 부른다. 즉 임의의 집합은 원소의 개수에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다. 유한집합무한인 가산집합(가부번집합)비가산집합 (물론 비가산집합은 집합의 기수(cardinality)에 따라 여러 가지로 구분할 수 있지만 여기서 논하는 바는 아니다.) 자연수 집합 \(\mathbb{N},\) 정수 집합 \(\mathbb{Z},\) 유리수 집합 \(\mathbb{Q}\)는 모두 가산집합이다. 그러나… Read More »

유리수의 조밀성과 무리수의 조밀성

서로 다른 두 실수 사이에는 반드시 유리수가 존재한다. 이 성질을 유리수의 조밀성이라고 부른다. [사실 '유리수계의 조밀성' 또는 '유리수 집합의 조밀성'이라고 표현해야 정확하지만 관용적으로 '유리수의 조밀성'이라고 표현한다.] 조밀성은 원래 위상공간에서 정의된다. \((X,~\mathcal{T})\)가 위상공간이고 \(E \subseteq X\)라고 하자. 만약 \(X \subseteq \overline{E}\)가 성립하면 '\(E\)는 \(X\)에서 조밀하다'라고 말한다. [여기서 \(\overline{E}\)는 \(E\)의 폐포(closure)를 나타낸다.] 서로 다른 두 실수 사이에 반드시 유리수가 존재한다는… Read More »