Tag Archives: Set Theory

첨수집합이 공집합인 첨수족의 합집합과 교집합

\(\mathcal{U}\)가 전체집합이고 \(\mathcal{A} = \left\{ A_i ~|~ i \in I \right\}\)가 \(\mathcal{U}\)의 부분집합들로 이루어진 첨수족이라고 하자. 이때 \(\mathcal{A}\)의 합집합과 교집합을 각각 다음과 같이 정의한다. \(\bigcup_{i\in I} A_i ~:=~ \left\{ x \in \mathcal{U} ~~|~~ \exists i \in I ~:~ x\in A_i \right\},\) \(\bigcap_{i\in I} A_i ~:=~ \left\{ x \in \mathcal{U} ~~|~~ \forall i \in I ~:~ x\in A_i \right\}.\)… Read More »

집합론 핵심 내용 정리

오늘날 수학을 공부하는 데에 있어 집합론은 필수이다. 수학의 거의 모든 내용이 집합과 명제로 표현되기 때문이다. 이것은 19세기 말부터 20세기 초까지 칸토어, 데데킨트, 힐베르트, 괴델, 화이트헤드 등의 수학자들과 논리학자들에 의하여 수학의 기초가 정립될 때 집합론의 사상을 바탕으로 한 데에 기인한다. 여기서는 학부 과정에서 전공 수학을 공부하는 데에 필요한 집합론의 내용을 간단히 살펴보자. 수학을 전공하는 사람이라면 이 문서를 끝까지 읽어보고… Read More »

슈뢰더-베른슈타인 정리

유한집합의 경우 두 집합의 크기를 비교할 때에는 원소의 개수를 세어 비교하면 된다. 그러나 무한집합의 경우 원소의 개수를 끝까지 셀 수 없으므로 다른 방법으로 두 집합의 크기를 비교한다. 두 집합 \(X,\) \(Y\)에 대하여 일대일 대응 \(f : X \to Y \)가 존재할 때 \(X\)와 \(Y\)는 대등하다(equipotent) 또는 동등하다고 말하고, 이것을 기호로는 \(X \approx Y\)로 나타낸다. 책에 따라서는 두 집합… Read More »

흐림 집합 (Fuzzy Set)

흐림 집합(fuzzy set)은 자데(L. A. Zadeh)에 의하려 만들어진 개념인데, 보통의 집합의 개념을 확장한 것이다(1965). \(X\)가 집합일 때 \(X\)의 부분집합 \(A\)에 대하여 \(X\)의 각 원소 \(x\)는 \(A\)에 속하거나 아니면 \(A\)에 속하지 않는 두 가지 중 하나만 선택할 수 있다. 따라서 \(X\)는 \(A\)에 속하지 않을 때는 \(0\)을, \(A\)에 속할 때는 \(1\)을 대응시킬 수 있다. 반면에 흐림 집합은 닫힌 구간 \([0,~1]\)에서… Read More »