일반화된 Cauchy 극한 문제의 풀이

보통 'Cauchy의 문제'라고 하면 편미분방정식의 해에 관한 문제를 가리킨다. 하지만 Cauchy의 이름을 딴 다음과 같은 또 다른 문제가 있다. Cauchy 극한 문제 \(L\)이 실수이고 함수 \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\)가 \(\lim_{n\rightarrow\infty} (f(n+1) - f(n)) = L\) 을 만족시킬 때 \(\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(n)}{n} = L\) 이 성립함을 증명하여라. 이 문제는 William R. Wade 교수님의 책 An Introduction to Analysis 4판에… Read More »

张靓颖 – 微笑以后

张靓颖 《微笑以后》 Jane Zhang(Zhāng Liàngyǐng) 《wéi xiào yǐ hòu》 장량잉 《미소이후》 Translated into Korean by Sooji Shin. 微笑以后 wéi xiào yǐ hòu 미소를 나누고 说好从此你我一起走 shuō hǎo cóng cǐ nǐ wǒ yī qǐ zǒu 우리의 미래를 함께 하기로 약속했었지. 却从朋友走成前男友 què cóng péng yǒu zǒu chéng qián nán yǒu 하지만 애인이었던 당신은 이제 헤어진 남자친구가 되어버렸네. 爱错了什么步骤 OH… Read More »

张靓颖 – 我是我的

张靓颖 《我是我的》 Jane Zhang(Zhāng Liàngyǐng) 《wǒ shì wǒ de》 장량잉 《난 내 거야》 Translated into Korean by Sooji Shin. 天 蓝得舒服 我忍不住 / 想飞到云朵上看书 tiān lán dé shū fú wǒ rěn bù zhù / xiǎng fēi dào yún duǒ shàng kàn shū 하늘이 무척이나 맑고 상쾌해 / 책 한 권 품에 안고 구름 위로 날아오르고 싶은 기분 风… Read More »

집합론의 선택 공리

선택 공리는 Zermelo-Fraenkel 집합론의 공리 중에서 가장 논란이 많았던 공리이다. 공리적 집합론이 발달하기 시작한 20세기 초에는 선택 공리를 다른 공리로부터 증명하기 위하여 많은 수학자들이 노력하였으나, 이후 선택 공리는 ZF와는 독립적임이 밝혀졌다. 오늘날 선택 공리는 수학의 여러 분야에서 필수적인 것으로 받아들여지고 있다. 이 포스팅에서는 선택 공리와 동치인 정렬 원리와 Zorn의 보조 정리를 살펴본다. 먼저 선택 공리는 다음과 같은 공리이다.… Read More »

집합론의 ZFC 공리

집합에 관한 모든 문장은 원소 관계를 이용하여 나타낼 수 있다. 그러므로 집합론의 공리에서 사용되는 일계논리언어는 하나의 이항관계를 가진다. 일계논리언어를 이용하여 집합론의 공리를 논할 때 관계기호 \(R\)에 대하여 \((x,\,y) \in R\)로 나타내는 대신 \(x\in y\)로 나타내자. 집합론의 Zermelo-Fraenkel 공리는 다음과 같은 열 개의 공리로 이루어져 있다. 확장 공리 (Extension Axiom) 두 집합이 동일한 원소를 가지고 있으면 두 집합은 서로… Read More »

괴델의 불완전성 증명

이 글은 한국 『SKEPTIC』 8권 140-157쪽에 실린 이광근 교수님 글 「튜링의 1935년 - 앨런 튜링은 정말로 천재인가」의 일부를 발췌하여 수정한 것입니다. 괴델의 불완전성 정리(Gödel's incompleteness theorem)를 직관적으로 표현하면 다음과 같다. “참이지만 기계적인 논리체계로는 증명 불가능한 것이 존재한다. 자연수에 대한 명제들의 세계로 국한되더라도 그런 것이 존재한다.” 괴델이 이것을 어떻게 증명했는지 살펴보자. 불완전성 정리를 증명하기 위해서는 다음 등식을 만족시키는 명제… Read More »

일계논리와 무모순성

Hilbert는 수학의 기초를 확립하는 단계에서 무모순성에 관한 형식적 증명을 찾아냄으로써 수학의 여러 모순을 제거하고자 하였다. 그 증명은 오직 유한 단계의 기계적 절차에 의해 행해질 수 있는 것이어야 했다. Hilbert는 수학적 개체의 존재성과 그 개체의 무모순성은 일치한다고 믿었다. 예컨대 Hilbert의 관점에서 보면 실수 범위에서 제곱하여 \(-1\)이 되는 성질은 자기모순적이므로 그러한 조건을 만족시키는 실수는 존재하지 않는다. Euclid 기하학은 실수 집합의… Read More »

일계논리와 Peano 산술

일계논리 문장의 집합 \(\varSigma\)가 완전하다(complete)는 것은 임의의 문장 \(\alpha\)에 대하여 \(\alpha\) 또는 \((\lnot \alpha )\) 중 하나가 \(\varSigma\)의 논리적 귀결인 것이다. 완전성 정리에서는 형식계의 완전성을 말하기 때문에 완전성이라는 용어를 조금 다르게 사용한다. 그러나 두 상황에서 완전성이라는 개념은 서로 깊은 연관이 있다. 왜냐하면 \(\varSigma\)가 완전할 때 임의의 문장 \(\alpha\)에 대하여 \(\alpha\) 또는 \((\lnot \alpha )\)가 \(\varSigma\)로부터 증명될 수 있기… Read More »

일계논리와 범주

수학의 분야 중에서는 일계논리만으로 그 분야를 논하기에 충분한 경우가 있고, 그렇지 않은 경우도 있다. 예컨대 군론(group theory)은 일계논리만으로 다룰 수 있지만 위상수학은 일계논리만으로는 직접 다룰 수 없다. 그렇다면 자연스럽게 다음과 같은 의문이 생긴다. 어떤 구조가 일계논리의 문장으로 다루어지기에 충분한가? 이를 논하기 위해 몇 가지 개념을 도입해야 한다. 두 \(\mathcal{L}\)-구조 \(M\)과 \(N\) 사이의 동형사상(isomorphism)이라 함은 다음 조건을 만족시키는 일대일대응… Read More »