(f(x) + f'(x)) → A 이면 f(x) → A 이다.

G. H. Hardy 교수님의 책 『A Course of Pure Mathematics』 6장 Derivatives and Integrals 마지막 절 Miscellaneous Examples에는 다음과 같은 문제가 실려 있다(36번). If \(\phi(x) + \phi ' (x) \to a \) as \(x \to \infty\), then \(\phi (x) \to a \). 이 문제를 흔히 Hardy의 문제(Hardy's old problem)라고 부른다. 여기서는 Hardy의 문제의 해설을 살펴보자. Hardy의 문제를 정확하게… Read More »

실수 집합이 비가산임을 증명하는 두 가지 방법

\(E\)가 집합이고 \(E\)로부터 \(\mathbb{N}\)에로의 일대일 함수가 존재할 때 \(E\)를 가산집합(countable set)이라고 부른다. 또한 가산집합이 아닌 집합을 비가산집합(uncountable set)이라고 부른다. 즉 임의의 집합은 원소의 개수에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다. 유한집합무한인 가산집합(가부번집합)비가산집합 (물론 비가산집합은 집합의 기수(cardinality)에 따라 여러 가지로 구분할 수 있지만 여기서 논하는 바는 아니다.) 자연수 집합 \(\mathbb{N},\) 정수 집합 \(\mathbb{Z},\) 유리수 집합 \(\mathbb{Q}\)는 모두 가산집합이다. 그러나… Read More »

유리수의 조밀성과 무리수의 조밀성

서로 다른 두 실수 사이에는 반드시 유리수가 존재한다. 이 성질을 유리수의 조밀성이라고 부른다. [사실 '유리수계의 조밀성' 또는 '유리수 집합의 조밀성'이라고 표현해야 정확하지만 관용적으로 '유리수의 조밀성'이라고 표현한다.] 조밀성은 원래 위상공간에서 정의된다. \((X,~\mathcal{T})\)가 위상공간이고 \(E \subseteq X\)라고 하자. 만약 \(X \subseteq \overline{E}\)가 성립하면 '\(E\)는 \(X\)에서 조밀하다'라고 말한다. [여기서 \(\overline{E}\)는 \(E\)의 폐포(closure)를 나타낸다.] 서로 다른 두 실수 사이에 반드시 유리수가 존재한다는… Read More »

(p → p)의 증명

초등 논리에서는 \( (p \to p) \)를 자명한 것으로 받아들이고 사용한다. 그러나 엄밀히 따지면 \( (p \to p) \)도 증명해야 한다. 여기서는 수리논리의 규칙에 따라 \( (p \to p) \)를 증명하는 과정을 간단히 살펴보자. 먼저 논리식을 정의한다. 논리식(formula)이란 다음 두 가지 규칙을 사용하여 얻어지는 것이다. 명제변수(propositional variable)는 논리식이다. \(p\)가 논리식이면 \( ( \sim p )\)도 논리식이다. \(p\)와 \(q\)가… Read More »

첨수집합이 공집합인 첨수족의 합집합과 교집합

\(\mathcal{U}\)가 전체집합이고 \(\mathcal{A} = \left\{ A_i ~|~ i \in I \right\}\)가 \(\mathcal{U}\)의 부분집합들로 이루어진 첨수족이라고 하자. 이때 \(\mathcal{A}\)의 합집합과 교집합을 각각 다음과 같이 정의한다. \(\bigcup_{i\in I} A_i ~:=~ \left\{ x \in \mathcal{U} ~~|~~ \exists i \in I ~:~ x\in A_i \right\},\) \(\bigcap_{i\in I} A_i ~:=~ \left\{ x \in \mathcal{U} ~~|~~ \forall i \in I ~:~ x\in A_i \right\}.\)… Read More »

Daffodil Lament

I have decided to start things from here. Thunder and lightning won't change what I'm feeling, And the daffodils look lovely today, Look lovely today. ** * ** 하루에 수백 명이 찾는 집을 떠나서 이곳에서 다시 시작한다. 나는 욕심이 없다. 이곳은 어디까지나 개인 블로그. Cheer myself up!

집합론 핵심 내용 정리

오늘날 수학을 공부하는 데에 있어 집합론은 필수이다. 수학의 거의 모든 내용이 집합과 명제로 표현되기 때문이다. 이것은 19세기 말부터 20세기 초까지 칸토어, 데데킨트, 힐베르트, 괴델, 화이트헤드 등의 수학자들과 논리학자들에 의하여 수학의 기초가 정립될 때 집합론의 사상을 바탕으로 한 데에 기인한다. 여기서는 학부 과정에서 전공 수학을 공부하는 데에 필요한 집합론의 내용을 간단히 살펴보자. 수학을 전공하는 사람이라면 이 문서를 끝까지 읽어보고… Read More »